Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 102003 / 96574
↖ ↑ ↗
← S 64.546079°
E100.159607°		 ← 131.27 m → S 64.546079°
E100.162354°		 →
↑
131.31 m
↓
↑
131.31 m
↓
S 64.547260°
E100.159607°		 ← 131.26 m →
17 236 m²		 S 64.547260°
E100.162354°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 102003 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 96574 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.778224945068359 y=0.736804962158203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.778224945068359 × 217)
    floor (0.778224945068359 × 131072)
    floor (102003.5)     		tx = 102003
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.736804962158203 × 217)
    floor (0.736804962158203 × 131072)
    floor (96574.5)     		ty = 96574
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 102003 / 96574 ti = "17/102003/96574"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/102003/96574.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 102003 ÷ 217
    102003 ÷ 131072     		x = 0.778221130371094
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 96574 ÷ 217
    96574 ÷ 131072     		y = 0.736801147460938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.778221130371094 × 2 - 1) × π
    0.556442260742188 × 3.1415926535     		Λ = 1.74811492
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.736801147460938 × 2 - 1) × π
    -0.473602294921875 × 3.1415926535     		Φ = -1.4878654904073
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.74811492} λ = 1.74811492}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.4878654904073))-π/2
    2×atan(0.225854229413804)-π/2
    2×0.222127361306788-π/2
    0.444254722613575-1.57079632675     		φ = -1.12654160
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.74811492} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 100.159607°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.12654160 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.546079°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 102003 KachelY 96574 1.74811492 -1.12654160 100.159607 -64.546079
    Oben rechts KachelX + 1 102004 KachelY 96574 1.74816286 -1.12654160 100.162354 -64.546079
    Unten links KachelX 102003 KachelY + 1 96575 1.74811492 -1.12656221 100.159607 -64.547260
    Unten rechts KachelX + 1 102004 KachelY + 1 96575 1.74816286 -1.12656221 100.162354 -64.547260
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.12654160--1.12656221) × R
    2.06099999999765e-05 × 6371000     		dl = 131.30630999985m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.12654160--1.12656221) × R
    2.06099999999765e-05 × 6371000     		dr = 131.30630999985m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.74811492-1.74816286) × cos(-1.12654160) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.429785069274554 × 6371000     		do = 131.267422824654m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.74811492-1.74816286) × cos(-1.12656221) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.42976645977076 × 6371000     		du = 131.261739003186m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.12654160)-sin(-1.12656221))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.429785069274554-0.42976645977076)×R²
    abs(1.74816286-1.74811492)×1.86095037937317e-05×R²
    4.79400000001906e-05×1.86095037937317e-05×6371000²
    4.79400000001906e-05×1.86095037937317e-05×40589641000000     		ar = 17235.8677540883m²