Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 102002 / 96573
↖ ↑ ↗
← S 64.544899°
E100.156860°		 ← 131.27 m → S 64.544899°
E100.159607°		 →
↑
131.24 m
↓
↑
131.24 m
↓
S 64.546079°
E100.156860°		 ← 131.27 m →
17 228 m²		 S 64.546079°
E100.159607°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 102002 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 96573 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.778217315673828 y=0.736797332763672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.778217315673828 × 217)
    floor (0.778217315673828 × 131072)
    floor (102002.5)     		tx = 102002
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.736797332763672 × 217)
    floor (0.736797332763672 × 131072)
    floor (96573.5)     		ty = 96573
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 102002 / 96573 ti = "17/102002/96573"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/102002/96573.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 102002 ÷ 217
    102002 ÷ 131072     		x = 0.778213500976562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 96573 ÷ 217
    96573 ÷ 131072     		y = 0.736793518066406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.778213500976562 × 2 - 1) × π
    0.556427001953125 × 3.1415926535     		Λ = 1.74806698
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.736793518066406 × 2 - 1) × π
    -0.473587036132812 × 3.1415926535     		Φ = -1.48781755350768
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.74806698} λ = 1.74806698}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.48781755350768))-π/2
    2×atan(0.225865056424832)-π/2
    2×0.222137662811501-π/2
    0.444275325623001-1.57079632675     		φ = -1.12652100
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.74806698} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 100.156860°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.12652100 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.544899°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 102002 KachelY 96573 1.74806698 -1.12652100 100.156860 -64.544899
    Oben rechts KachelX + 1 102003 KachelY 96573 1.74811492 -1.12652100 100.159607 -64.544899
    Unten links KachelX 102002 KachelY + 1 96574 1.74806698 -1.12654160 100.156860 -64.546079
    Unten rechts KachelX + 1 102003 KachelY + 1 96574 1.74811492 -1.12654160 100.159607 -64.546079
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.12652100--1.12654160) × R
    2.05999999998152e-05 × 6371000     		dl = 131.242599998823m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.12652100--1.12654160) × R
    2.05999999998152e-05 × 6371000     		dr = 131.242599998823m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.74806698-1.74811492) × cos(-1.12652100) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.429803669566563 × 6371000     		do = 131.273103831997m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.74806698-1.74811492) × cos(-1.12654160) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.429785069274554 × 6371000     		du = 131.267422824046m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.12652100)-sin(-1.12654160))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.429803669566563-0.429785069274554)×R²
    abs(1.74811492-1.74806698)×1.86002920091743e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.86002920091743e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.86002920091743e-05×40589641000000     		ar = 17228.2506622654m²