Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 10200 / 2132
↖ ↑ ↗
← N 78.819035°
E 44.121094°		 ← 473.76 m → N 78.819035°
E 44.143066°		 →
↑
473.81 m
↓
↑
473.81 m
↓
N 78.814774°
E 44.121094°		 ← 473.94 m →
224 515 m²		 N 78.814774°
E 44.143066°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 10200 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2132 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.622589111328125 y=0.130157470703125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.622589111328125 × 214)
    floor (0.622589111328125 × 16384)
    floor (10200.5)     		tx = 10200
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.130157470703125 × 214)
    floor (0.130157470703125 × 16384)
    floor (2132.5)     		ty = 2132
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 10200 / 2132 ti = "14/10200/2132"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/10200/2132.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 10200 ÷ 214
    10200 ÷ 16384     		x = 0.62255859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2132 ÷ 214
    2132 ÷ 16384     		y = 0.130126953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.62255859375 × 2 - 1) × π
    0.2451171875 × 3.1415926535     		Λ = 0.77005836
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.130126953125 × 2 - 1) × π
    0.73974609375 × 3.1415926535     		Φ = 2.32398089358032
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.77005836} λ = 0.77005836}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.32398089358032))-π/2
    2×atan(10.216263319262)-π/2
    2×1.47322400507556-π/2
    2.94644801015113-1.57079632675     		φ = 1.37565168
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.77005836} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 44.121094°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37565168 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.819035°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 10200 KachelY 2132 0.77005836 1.37565168 44.121094 78.819035
    Oben rechts KachelX + 1 10201 KachelY 2132 0.77044185 1.37565168 44.143066 78.819035
    Unten links KachelX 10200 KachelY + 1 2133 0.77005836 1.37557731 44.121094 78.814774
    Unten rechts KachelX + 1 10201 KachelY + 1 2133 0.77044185 1.37557731 44.143066 78.814774
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37565168-1.37557731) × R
    7.43700000001013e-05 × 6371000     		dl = 473.811270000645m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37565168-1.37557731) × R
    7.43700000001013e-05 × 6371000     		dr = 473.811270000645m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.77005836-0.77044185) × cos(1.37565168) × R
    0.000383489999999931 × 0.193908438335909 × 6371000     		do = 473.759964448011m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.77005836-0.77044185) × cos(1.37557731) × R
    0.000383489999999931 × 0.193981396229599 × 6371000     		du = 473.93821625292m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37565168)-sin(1.37557731))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.193908438335909-0.193981396229599)×R²
    abs(0.77044185-0.77005836)×7.29578936895237e-05×R²
    0.000383489999999931×7.29578936895237e-05×6371000²
    0.000383489999999931×7.29578936895237e-05×40589641000000     		ar = 224515.039389823m²