Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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11 / 1020 / 500
↖ ↑ ↗
← N 67.339861°
W  0.703125°		 ← 7 530.39 m → N 67.339861°
W  0.527343°		 →
↑
7 541.03 m
↓
↑
7 541.03 m
↓
N 67.272043°
W  0.703125°		 ← 7 551.73 m →
56 867 392 m²		 N 67.272043°
W  0.527343°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1020 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 500 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.498291015625 y=0.244384765625 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.498291015625 × 211)
    floor (0.498291015625 × 2048)
    floor (1020.5)     		tx = 1020
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.244384765625 × 211)
    floor (0.244384765625 × 2048)
    floor (500.5)     		ty = 500
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 1020 / 500 ti = "11/1020/500"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/1020/500.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1020 ÷ 211
    1020 ÷ 2048     		x = 0.498046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 500 ÷ 211
    500 ÷ 2048     		y = 0.244140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.498046875 × 2 - 1) × π
    -0.00390625 × 3.1415926535     		Λ = -0.01227185
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.244140625 × 2 - 1) × π
    0.51171875 × 3.1415926535     		Φ = 1.6076118656582
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.01227185} λ = -0.01227185}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.6076118656582))-π/2
    2×atan(4.99087809716585)-π/2
    2×1.37304930800925-π/2
    2.7460986160185-1.57079632675     		φ = 1.17530229
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.01227185} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -0.703125°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.17530229 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 67.339861°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1020 KachelY 500 -0.01227185 1.17530229 -0.703125 67.339861
    Oben rechts KachelX + 1 1021 KachelY 500 -0.00920388 1.17530229 -0.527343 67.339861
    Unten links KachelX 1020 KachelY + 1 501 -0.01227185 1.17411864 -0.703125 67.272043
    Unten rechts KachelX + 1 1021 KachelY + 1 501 -0.00920388 1.17411864 -0.527343 67.272043
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.17530229-1.17411864) × R
    0.00118364999999998 × 6371000     		dl = 7541.03414999988m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.17530229-1.17411864) × R
    0.00118364999999998 × 6371000     		dr = 7541.03414999988m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.01227185--0.00920388) × cos(1.17530229) × R
    0.00306797 × 0.385264136093535 × 6371000     		do = 7530.38700877293m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.01227185--0.00920388) × cos(1.17411864) × R
    0.00306797 × 0.38635614568282 × 6371000     		du = 7551.73146846749m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.17530229)-sin(1.17411864))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.385264136093535-0.38635614568282)×R²
    abs(-0.00920388--0.01227185)×0.00109200958928479×R²
    0.00306797×0.00109200958928479×6371000²
    0.00306797×0.00109200958928479×40589641000000     		ar = 56867391.8850172m²