Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 101998 / 99037
↖ ↑ ↗
← S 67.302797°
E100.145874°		 ← 117.85 m → S 67.302797°
E100.148621°		 →
↑
117.80 m
↓
↑
117.80 m
↓
S 67.303856°
E100.145874°		 ← 117.85 m →
13 883 m²		 S 67.303856°
E100.148621°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 101998 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 99037 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.778186798095703 y=0.755596160888672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.778186798095703 × 217)
    floor (0.778186798095703 × 131072)
    floor (101998.5)     		tx = 101998
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.755596160888672 × 217)
    floor (0.755596160888672 × 131072)
    floor (99037.5)     		ty = 99037
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 101998 / 99037 ti = "17/101998/99037"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/101998/99037.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 101998 ÷ 217
    101998 ÷ 131072     		x = 0.778182983398438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 99037 ÷ 217
    99037 ÷ 131072     		y = 0.755592346191406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.778182983398438 × 2 - 1) × π
    0.556365966796875 × 3.1415926535     		Λ = 1.74787523
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.755592346191406 × 2 - 1) × π
    -0.511184692382812 × 3.1415926535     		Φ = -1.6059340741715
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.74787523} λ = 1.74787523}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.6059340741715))-π/2
    2×atan(0.200701996775907)-π/2
    2×0.198070465535456-π/2
    0.396140931070912-1.57079632675     		φ = -1.17465540
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.74787523} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 100.145874°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.17465540 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.302797°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 101998 KachelY 99037 1.74787523 -1.17465540 100.145874 -67.302797
    Oben rechts KachelX + 1 101999 KachelY 99037 1.74792317 -1.17465540 100.148621 -67.302797
    Unten links KachelX 101998 KachelY + 1 99038 1.74787523 -1.17467389 100.145874 -67.303856
    Unten rechts KachelX + 1 101999 KachelY + 1 99038 1.74792317 -1.17467389 100.148621 -67.303856
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.17465540--1.17467389) × R
    1.84899999999821e-05 × 6371000     		dl = 117.799789999886m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.17465540--1.17467389) × R
    1.84899999999821e-05 × 6371000     		dr = 117.799789999886m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.74787523-1.74792317) × cos(-1.17465540) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.385861009636591 × 6371000     		do = 117.851884405326m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.74787523-1.74792317) × cos(-1.17467389) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.385843951493076 × 6371000     		du = 117.84667440922m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.17465540)-sin(-1.17467389))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.385861009636591-0.385843951493076)×R²
    abs(1.74792317-1.74787523)×1.70581435151584e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.70581435151584e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.70581435151584e-05×40589641000000     		ar = 13882.6203662943m²