Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 101997 / 99028
↖ ↑ ↗
← S 67.293256°
E100.143128°		 ← 117.87 m → S 67.293256°
E100.145874°		 →
↑
117.86 m
↓
↑
117.86 m
↓
S 67.294316°
E100.143128°		 ← 117.87 m →
13 893 m²		 S 67.294316°
E100.145874°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 101997 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 99028 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.778179168701172 y=0.755527496337891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.778179168701172 × 217)
    floor (0.778179168701172 × 131072)
    floor (101997.5)     		tx = 101997
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.755527496337891 × 217)
    floor (0.755527496337891 × 131072)
    floor (99028.5)     		ty = 99028
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 101997 / 99028 ti = "17/101997/99028"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/101997/99028.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 101997 ÷ 217
    101997 ÷ 131072     		x = 0.778175354003906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 99028 ÷ 217
    99028 ÷ 131072     		y = 0.755523681640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.778175354003906 × 2 - 1) × π
    0.556350708007812 × 3.1415926535     		Λ = 1.74782730
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.755523681640625 × 2 - 1) × π
    -0.51104736328125 × 3.1415926535     		Φ = -1.60550264207492
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.74782730} λ = 1.74782730}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.60550264207492))-π/2
    2×atan(0.200788604740549)-π/2
    2×0.198153718515215-π/2
    0.39630743703043-1.57079632675     		φ = -1.17448889
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.74782730} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 100.143128°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.17448889 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.293256°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 101997 KachelY 99028 1.74782730 -1.17448889 100.143128 -67.293256
    Oben rechts KachelX + 1 101998 KachelY 99028 1.74787523 -1.17448889 100.145874 -67.293256
    Unten links KachelX 101997 KachelY + 1 99029 1.74782730 -1.17450739 100.143128 -67.294316
    Unten rechts KachelX + 1 101998 KachelY + 1 99029 1.74787523 -1.17450739 100.145874 -67.294316
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.17448889--1.17450739) × R
    1.85000000001434e-05 × 6371000     		dl = 117.863500000914m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.17448889--1.17450739) × R
    1.85000000001434e-05 × 6371000     		dr = 117.863500000914m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.74782730-1.74787523) × cos(-1.17448889) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.386014619240477 × 6371000     		do = 117.874207741021m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.74782730-1.74787523) × cos(-1.17450739) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.385997553060152 × 6371000     		du = 117.868996377553m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.17448889)-sin(-1.17450739))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.386014619240477-0.385997553060152)×R²
    abs(1.74787523-1.74782730)×1.70661803258754e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.70661803258754e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.70661803258754e-05×40589641000000     		ar = 13892.7595698064m²