Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 101996 / 96580
↖ ↑ ↗
← S 64.553161°
E100.140381°		 ← 131.23 m → S 64.553161°
E100.143128°		 →
↑
131.24 m
↓
↑
131.24 m
↓
S 64.554341°
E100.140381°		 ← 131.23 m →
17 223 m²		 S 64.554341°
E100.143128°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 101996 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 96580 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.778171539306641 y=0.736850738525391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.778171539306641 × 217)
    floor (0.778171539306641 × 131072)
    floor (101996.5)     		tx = 101996
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.736850738525391 × 217)
    floor (0.736850738525391 × 131072)
    floor (96580.5)     		ty = 96580
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 101996 / 96580 ti = "17/101996/96580"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/101996/96580.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 101996 ÷ 217
    101996 ÷ 131072     		x = 0.778167724609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 96580 ÷ 217
    96580 ÷ 131072     		y = 0.736846923828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.778167724609375 × 2 - 1) × π
    0.55633544921875 × 3.1415926535     		Λ = 1.74777936
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.736846923828125 × 2 - 1) × π
    -0.47369384765625 × 3.1415926535     		Φ = -1.48815311180502
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.74777936} λ = 1.74777936}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.48815311180502))-π/2
    2×atan(0.225789278245779)-π/2
    2×0.222065561641422-π/2
    0.444131123282844-1.57079632675     		φ = -1.12666520
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.74777936} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 100.140381°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.12666520 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.553161°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 101996 KachelY 96580 1.74777936 -1.12666520 100.140381 -64.553161
    Oben rechts KachelX + 1 101997 KachelY 96580 1.74782730 -1.12666520 100.143128 -64.553161
    Unten links KachelX 101996 KachelY + 1 96581 1.74777936 -1.12668580 100.140381 -64.554341
    Unten rechts KachelX + 1 101997 KachelY + 1 96581 1.74782730 -1.12668580 100.143128 -64.554341
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.12666520--1.12668580) × R
    2.06000000000373e-05 × 6371000     		dl = 131.242600000237m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.12666520--1.12668580) × R
    2.06000000000373e-05 × 6371000     		dr = 131.242600000237m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.74777936-1.74782730) × cos(-1.12666520) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.429673463692718 × 6371000     		do = 131.233335606626m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.74777936-1.74782730) × cos(-1.12668580) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.429654862124189 × 6371000     		du = 131.227654208793m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.12666520)-sin(-1.12668580))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.429673463692718-0.429654862124189)×R²
    abs(1.74782730-1.74777936)×1.86015685287866e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.86015685287866e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.86015685287866e-05×40589641000000     		ar = 17223.0313515099m²