Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 101995 / 98246
↖ ↑ ↗
← S 66.449692°
E100.137634°		 ← 122.03 m → S 66.449692°
E100.140381°		 →
↑
122 m
↓
↑
122 m
↓
S 66.450789°
E100.137634°		 ← 122.03 m →
14 888 m²		 S 66.450789°
E100.140381°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 101995 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 98246 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.778163909912109 y=0.749561309814453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.778163909912109 × 217)
    floor (0.778163909912109 × 131072)
    floor (101995.5)     		tx = 101995
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.749561309814453 × 217)
    floor (0.749561309814453 × 131072)
    floor (98246.5)     		ty = 98246
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 101995 / 98246 ti = "17/101995/98246"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/101995/98246.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 101995 ÷ 217
    101995 ÷ 131072     		x = 0.778160095214844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 98246 ÷ 217
    98246 ÷ 131072     		y = 0.749557495117188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.778160095214844 × 2 - 1) × π
    0.556320190429688 × 3.1415926535     		Λ = 1.74773142
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.749557495117188 × 2 - 1) × π
    -0.499114990234375 × 3.1415926535     		Φ = -1.56801598657204
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.74773142} λ = 1.74773142}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.56801598657204))-π/2
    2×atan(0.20845835652846)-π/2
    2×0.205515208761184-π/2
    0.411030417522368-1.57079632675     		φ = -1.15976591
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.74773142} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 100.137634°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.15976591 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.449692°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 101995 KachelY 98246 1.74773142 -1.15976591 100.137634 -66.449692
    Oben rechts KachelX + 1 101996 KachelY 98246 1.74777936 -1.15976591 100.140381 -66.449692
    Unten links KachelX 101995 KachelY + 1 98247 1.74773142 -1.15978506 100.137634 -66.450789
    Unten rechts KachelX + 1 101996 KachelY + 1 98247 1.74777936 -1.15978506 100.140381 -66.450789
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.15976591--1.15978506) × R
    1.91499999999678e-05 × 6371000     		dl = 122.004649999795m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.15976591--1.15978506) × R
    1.91499999999678e-05 × 6371000     		dr = 122.004649999795m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.74773142-1.74777936) × cos(-1.15976591) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.399554132902516 × 6371000     		do = 122.034116711729m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.74773142-1.74777936) × cos(-1.15978506) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.399536577840371 × 6371000     		du = 122.028754943883m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.15976591)-sin(-1.15978506))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.399554132902516-0.399536577840371)×R²
    abs(1.74777936-1.74773142)×1.75550621449583e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.75550621449583e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.75550621449583e-05×40589641000000     		ar = 14888.402617672m²