Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 101992 / 98842
↖ ↑ ↗
← S 67.095242°
E100.129394°		 ← 118.87 m → S 67.095242°
E100.132141°		 →
↑
118.88 m
↓
↑
118.88 m
↓
S 67.096311°
E100.129394°		 ← 118.87 m →
14 132 m²		 S 67.096311°
E100.132141°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 101992 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 98842 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.778141021728516 y=0.754108428955078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.778141021728516 × 217)
    floor (0.778141021728516 × 131072)
    floor (101992.5)     		tx = 101992
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.754108428955078 × 217)
    floor (0.754108428955078 × 131072)
    floor (98842.5)     		ty = 98842
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 101992 / 98842 ti = "17/101992/98842"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/101992/98842.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 101992 ÷ 217
    101992 ÷ 131072     		x = 0.77813720703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 98842 ÷ 217
    98842 ÷ 131072     		y = 0.754104614257812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.77813720703125 × 2 - 1) × π
    0.5562744140625 × 3.1415926535     		Λ = 1.74758761
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.754104614257812 × 2 - 1) × π
    -0.508209228515625 × 3.1415926535     		Φ = -1.59658637874559
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.74758761} λ = 1.74758761}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.59658637874559))-π/2
    2×atan(0.202586893910221)-π/2
    2×0.199881715903716-π/2
    0.399763431807432-1.57079632675     		φ = -1.17103289
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.74758761} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 100.129394°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.17103289 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.095242°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 101992 KachelY 98842 1.74758761 -1.17103289 100.129394 -67.095242
    Oben rechts KachelX + 1 101993 KachelY 98842 1.74763555 -1.17103289 100.132141 -67.095242
    Unten links KachelX 101992 KachelY + 1 98843 1.74758761 -1.17105155 100.129394 -67.096311
    Unten rechts KachelX + 1 101993 KachelY + 1 98843 1.74763555 -1.17105155 100.132141 -67.096311
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.17103289--1.17105155) × R
    1.86600000000592e-05 × 6371000     		dl = 118.882860000377m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.17103289--1.17105155) × R
    1.86600000000592e-05 × 6371000     		dr = 118.882860000377m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.74758761-1.74763555) × cos(-1.17103289) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.389200442273502 × 6371000     		do = 118.871833089634m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.74758761-1.74763555) × cos(-1.17105155) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.389183253489079 × 6371000     		du = 118.866583192432m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.17103289)-sin(-1.17105155))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.389200442273502-0.389183253489079)×R²
    abs(1.74763555-1.74758761)×1.71887844226393e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.71887844226393e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.71887844226393e-05×40589641000000     		ar = 14131.5114301687m²