Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 101991 / 98857
↖ ↑ ↗
← S 67.111272°
E100.126648°		 ← 118.77 m → S 67.111272°
E100.129394°		 →
↑
118.76 m
↓
↑
118.76 m
↓
S 67.112340°
E100.126648°		 ← 118.76 m →
14 104 m²		 S 67.112340°
E100.129394°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 101991 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 98857 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.778133392333984 y=0.754222869873047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.778133392333984 × 217)
    floor (0.778133392333984 × 131072)
    floor (101991.5)     		tx = 101991
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.754222869873047 × 217)
    floor (0.754222869873047 × 131072)
    floor (98857.5)     		ty = 98857
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 101991 / 98857 ti = "17/101991/98857"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/101991/98857.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 101991 ÷ 217
    101991 ÷ 131072     		x = 0.778129577636719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 98857 ÷ 217
    98857 ÷ 131072     		y = 0.754219055175781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.778129577636719 × 2 - 1) × π
    0.556259155273438 × 3.1415926535     		Λ = 1.74753968
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.754219055175781 × 2 - 1) × π
    -0.508438110351562 × 3.1415926535     		Φ = -1.59730543223989
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.74753968} λ = 1.74753968}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.59730543223989))-π/2
    2×atan(0.202441275456259)-π/2
    2×0.199741834269191-π/2
    0.399483668538383-1.57079632675     		φ = -1.17131266
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.74753968} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 100.126648°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.17131266 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.111272°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 101991 KachelY 98857 1.74753968 -1.17131266 100.126648 -67.111272
    Oben rechts KachelX + 1 101992 KachelY 98857 1.74758761 -1.17131266 100.129394 -67.111272
    Unten links KachelX 101991 KachelY + 1 98858 1.74753968 -1.17133130 100.126648 -67.112340
    Unten rechts KachelX + 1 101992 KachelY + 1 98858 1.74758761 -1.17133130 100.129394 -67.112340
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.17131266--1.17133130) × R
    1.86400000001807e-05 × 6371000     		dl = 118.755440001151m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.17131266--1.17133130) × R
    1.86400000001807e-05 × 6371000     		dr = 118.755440001151m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.74753968-1.74758761) × cos(-1.17131266) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.388942716045193 × 6371000     		do = 118.768337325346m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.74753968-1.74758761) × cos(-1.17133130) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.388925543655048 × 6371000     		du = 118.763093529432m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.17131266)-sin(-1.17133130))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.388942716045193-0.388925543655048)×R²
    abs(1.74758761-1.74753968)×1.71723901453702e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.71723901453702e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.71723901453702e-05×40589641000000     		ar = 14104.0747930501m²