Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 10199 / 2465
↖ ↑ ↗
← N 77.307693°
E 44.099121°		 ← 536.83 m → N 77.307693°
E 44.121094°		 →
↑
536.88 m
↓
↑
536.88 m
↓
N 77.302865°
E 44.099121°		 ← 537.03 m →
288 267 m²		 N 77.302865°
E 44.121094°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 10199 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2465 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.622528076171875 y=0.150482177734375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.622528076171875 × 214)
    floor (0.622528076171875 × 16384)
    floor (10199.5)     		tx = 10199
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.150482177734375 × 214)
    floor (0.150482177734375 × 16384)
    floor (2465.5)     		ty = 2465
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 10199 / 2465 ti = "14/10199/2465"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/10199/2465.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 10199 ÷ 214
    10199 ÷ 16384     		x = 0.62249755859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2465 ÷ 214
    2465 ÷ 16384     		y = 0.15045166015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.62249755859375 × 2 - 1) × π
    0.2449951171875 × 3.1415926535     		Λ = 0.76967486
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.15045166015625 × 2 - 1) × π
    0.6990966796875 × 3.1415926535     		Φ = 2.19627699299249
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.76967486} λ = 0.76967486}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.19627699299249))-π/2
    2×atan(8.99147578025288)-π/2
    2×1.46003505437322-π/2
    2.92007010874645-1.57079632675     		φ = 1.34927378
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.76967486} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 44.099121°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34927378 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.307693°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 10199 KachelY 2465 0.76967486 1.34927378 44.099121 77.307693
    Oben rechts KachelX + 1 10200 KachelY 2465 0.77005836 1.34927378 44.121094 77.307693
    Unten links KachelX 10199 KachelY + 1 2466 0.76967486 1.34918951 44.099121 77.302865
    Unten rechts KachelX + 1 10200 KachelY + 1 2466 0.77005836 1.34918951 44.121094 77.302865
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34927378-1.34918951) × R
    8.42700000001084e-05 × 6371000     		dl = 536.884170000691m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34927378-1.34918951) × R
    8.42700000001084e-05 × 6371000     		dr = 536.884170000691m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.76967486-0.77005836) × cos(1.34927378) × R
    0.000383500000000092 × 0.219715219096111 × 6371000     		do = 536.825470940447m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.76967486-0.77005836) × cos(1.34918951) × R
    0.000383500000000092 × 0.219797429098657 × 6371000     		du = 537.026332872151m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34927378)-sin(1.34918951))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.219715219096111-0.219797429098657)×R²
    abs(0.77005836-0.76967486)×8.22100025454908e-05×R²
    0.000383500000000092×8.22100025454908e-05×6371000²
    0.000383500000000092×8.22100025454908e-05×40589641000000     		ar = 288267.017365938m²