Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 10199 / 14485
↖ ↑ ↗
← N 70.339079°
W123.975220°		 ← 205.52 m → N 70.339079°
W123.969726°		 →
↑
205.53 m
↓
↑
205.53 m
↓
N 70.337231°
W123.975220°		 ← 205.54 m →
42 243 m²		 N 70.337231°
W123.969726°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 10199 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14485 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.155632019042969 y=0.221031188964844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.155632019042969 × 216)
    floor (0.155632019042969 × 65536)
    floor (10199.5)     		tx = 10199
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.221031188964844 × 216)
    floor (0.221031188964844 × 65536)
    floor (14485.5)     		ty = 14485
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 10199 / 14485 ti = "16/10199/14485"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/10199/14485.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 10199 ÷ 216
    10199 ÷ 65536     		x = 0.155624389648438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14485 ÷ 216
    14485 ÷ 65536     		y = 0.221023559570312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.155624389648438 × 2 - 1) × π
    -0.688751220703125 × 3.1415926535     		Λ = -2.16377578
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.221023559570312 × 2 - 1) × π
    0.557952880859375 × 3.1415926535     		Φ = 1.75286067150697
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.16377578} λ = -2.16377578}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.75286067150697))-π/2
    2×atan(5.77108827261077)-π/2
    2×1.39922242133744-π/2
    2.79844484267487-1.57079632675     		φ = 1.22764852
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.16377578} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -123.975220°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.22764852 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 70.339079°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 10199 KachelY 14485 -2.16377578 1.22764852 -123.975220 70.339079
    Oben rechts KachelX + 1 10200 KachelY 14485 -2.16367990 1.22764852 -123.969726 70.339079
    Unten links KachelX 10199 KachelY + 1 14486 -2.16377578 1.22761626 -123.975220 70.337231
    Unten rechts KachelX + 1 10200 KachelY + 1 14486 -2.16367990 1.22761626 -123.969726 70.337231
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.22764852-1.22761626) × R
    3.22600000000062e-05 × 6371000     		dl = 205.528460000039m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.22764852-1.22761626) × R
    3.22600000000062e-05 × 6371000     		dr = 205.528460000039m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.16377578--2.16367990) × cos(1.22764852) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.336453044573689 × 6371000     		do = 205.522840228209m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.16377578--2.16367990) × cos(1.22761626) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.336483423648467 × 6371000     		du = 205.541397330999m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.22764852)-sin(1.22761626))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.336453044573689-0.336483423648467)×R²
    abs(-2.16367990--2.16377578)×3.0379074778708e-05×R²
    9.58799999999371e-05×3.0379074778708e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×3.0379074778708e-05×40589641000000     		ar = 42242.6998571562m²