Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 10199 / 14401
↖ ↑ ↗
← S 79.436400°
E 44.099121°		 ← 447.92 m → S 79.436400°
E 44.121094°		 →
↑
447.82 m
↓
↑
447.82 m
↓
S 79.440427°
E 44.099121°		 ← 447.75 m →
200 548 m²		 S 79.440427°
E 44.121094°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 10199 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14401 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.622528076171875 y=0.878997802734375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.622528076171875 × 214)
    floor (0.622528076171875 × 16384)
    floor (10199.5)     		tx = 10199
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.878997802734375 × 214)
    floor (0.878997802734375 × 16384)
    floor (14401.5)     		ty = 14401
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 10199 / 14401 ti = "14/10199/14401"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/10199/14401.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 10199 ÷ 214
    10199 ÷ 16384     		x = 0.62249755859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14401 ÷ 214
    14401 ÷ 16384     		y = 0.87896728515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.62249755859375 × 2 - 1) × π
    0.2449951171875 × 3.1415926535     		Λ = 0.76967486
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.87896728515625 × 2 - 1) × π
    -0.7579345703125 × 3.1415926535     		Φ = -2.38112167792743
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.76967486} λ = 0.76967486}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.38112167792743))-π/2
    2×atan(0.0924468237703973)-π/2
    2×0.0921848030855678-π/2
    0.184369606171136-1.57079632675     		φ = -1.38642672
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.76967486} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 44.099121°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.38642672 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -79.436400°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 10199 KachelY 14401 0.76967486 -1.38642672 44.099121 -79.436400
    Oben rechts KachelX + 1 10200 KachelY 14401 0.77005836 -1.38642672 44.121094 -79.436400
    Unten links KachelX 10199 KachelY + 1 14402 0.76967486 -1.38649701 44.099121 -79.440427
    Unten rechts KachelX + 1 10200 KachelY + 1 14402 0.77005836 -1.38649701 44.121094 -79.440427
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.38642672--1.38649701) × R
    7.02900000000284e-05 × 6371000     		dl = 447.817590000181m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.38642672--1.38649701) × R
    7.02900000000284e-05 × 6371000     		dr = 447.817590000181m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.76967486-0.77005836) × cos(-1.38642672) × R
    0.000383500000000092 × 0.183326860685865 × 6371000     		do = 447.918577186376m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.76967486-0.77005836) × cos(-1.38649701) × R
    0.000383500000000092 × 0.18325776150698 × 6371000     		du = 447.74974864824m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.38642672)-sin(-1.38649701))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.183326860685865-0.18325776150698)×R²
    abs(0.77005836-0.76967486)×6.90991788844519e-05×R²
    0.000383500000000092×6.90991788844519e-05×6371000²
    0.000383500000000092×6.90991788844519e-05×40589641000000     		ar = 200548.015639878m²