Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 10199 / 14373
↖ ↑ ↗
← S 79.323014°
E 44.099121°		 ← 452.67 m → S 79.323014°
E 44.121094°		 →
↑
452.53 m
↓
↑
452.53 m
↓
S 79.327083°
E 44.099121°		 ← 452.50 m →
204 810 m²		 S 79.327083°
E 44.121094°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 10199 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14373 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.622528076171875 y=0.877288818359375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.622528076171875 × 214)
    floor (0.622528076171875 × 16384)
    floor (10199.5)     		tx = 10199
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.877288818359375 × 214)
    floor (0.877288818359375 × 16384)
    floor (14373.5)     		ty = 14373
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 10199 / 14373 ti = "14/10199/14373"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/10199/14373.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 10199 ÷ 214
    10199 ÷ 16384     		x = 0.62249755859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14373 ÷ 214
    14373 ÷ 16384     		y = 0.87725830078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.62249755859375 × 2 - 1) × π
    0.2449951171875 × 3.1415926535     		Λ = 0.76967486
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.87725830078125 × 2 - 1) × π
    -0.7545166015625 × 3.1415926535     		Φ = -2.37038381241254
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.76967486} λ = 0.76967486}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.37038381241254))-π/2
    2×atan(0.0934448540995141)-π/2
    2×0.0931742852690605-π/2
    0.186348570538121-1.57079632675     		φ = -1.38444776
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.76967486} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 44.099121°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.38444776 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -79.323014°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 10199 KachelY 14373 0.76967486 -1.38444776 44.099121 -79.323014
    Oben rechts KachelX + 1 10200 KachelY 14373 0.77005836 -1.38444776 44.121094 -79.323014
    Unten links KachelX 10199 KachelY + 1 14374 0.76967486 -1.38451879 44.099121 -79.327083
    Unten rechts KachelX + 1 10200 KachelY + 1 14374 0.77005836 -1.38451879 44.121094 -79.327083
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.38444776--1.38451879) × R
    7.10299999999719e-05 × 6371000     		dl = 452.532129999821m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.38444776--1.38451879) × R
    7.10299999999719e-05 × 6371000     		dr = 452.532129999821m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.76967486-0.77005836) × cos(-1.38444776) × R
    0.000383500000000092 × 0.185271921049821 × 6371000     		do = 452.670901354833m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.76967486-0.77005836) × cos(-1.38451879) × R
    0.000383500000000092 × 0.185202120304105 × 6371000     		du = 452.500358693542m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.38444776)-sin(-1.38451879))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.185271921049821-0.185202120304105)×R²
    abs(0.77005836-0.76967486)×6.98007457156646e-05×R²
    0.000383500000000092×6.98007457156646e-05×6371000²
    0.000383500000000092×6.98007457156646e-05×40589641000000     		ar = 204809.53924922m²