Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 101989 / 99014
↖ ↑ ↗
← S 67.278409°
E100.121155°		 ← 117.97 m → S 67.278409°
E100.123901°		 →
↑
117.93 m
↓
↑
117.93 m
↓
S 67.279469°
E100.121155°		 ← 117.97 m →
13 912 m²		 S 67.279469°
E100.123901°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 101989 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 99014 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.778118133544922 y=0.755420684814453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.778118133544922 × 217)
    floor (0.778118133544922 × 131072)
    floor (101989.5)     		tx = 101989
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.755420684814453 × 217)
    floor (0.755420684814453 × 131072)
    floor (99014.5)     		ty = 99014
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 101989 / 99014 ti = "17/101989/99014"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/101989/99014.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 101989 ÷ 217
    101989 ÷ 131072     		x = 0.778114318847656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 99014 ÷ 217
    99014 ÷ 131072     		y = 0.755416870117188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.778114318847656 × 2 - 1) × π
    0.556228637695312 × 3.1415926535     		Λ = 1.74744380
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.755416870117188 × 2 - 1) × π
    -0.510833740234375 × 3.1415926535     		Φ = -1.60483152548024
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.74744380} λ = 1.74744380}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.60483152548024))-π/2
    2×atan(0.200923402532671)-π/2
    2×0.198283289026641-π/2
    0.396566578053282-1.57079632675     		φ = -1.17422975
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.74744380} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 100.121155°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.17422975 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.278409°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 101989 KachelY 99014 1.74744380 -1.17422975 100.121155 -67.278409
    Oben rechts KachelX + 1 101990 KachelY 99014 1.74749174 -1.17422975 100.123901 -67.278409
    Unten links KachelX 101989 KachelY + 1 99015 1.74744380 -1.17424826 100.121155 -67.279469
    Unten rechts KachelX + 1 101990 KachelY + 1 99015 1.74749174 -1.17424826 100.123901 -67.279469
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.17422975--1.17424826) × R
    1.85099999998606e-05 × 6371000     		dl = 117.927209999112m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.17422975--1.17424826) × R
    1.85099999998606e-05 × 6371000     		dr = 117.927209999112m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.74744380-1.74749174) × cos(-1.17422975) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.38625366102543 × 6371000     		do = 117.971810246324m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.74744380-1.74749174) × cos(-1.17424826) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.386236587472228 × 6371000     		du = 117.966595543703m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.17422975)-sin(-1.17424826))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.38625366102543-0.386236587472228)×R²
    abs(1.74749174-1.74744380)×1.70735532021293e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.70735532021293e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.70735532021293e-05×40589641000000     		ar = 13911.7789636226m²