Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 101981 / 97695
↖ ↑ ↗
← S 65.837651°
E100.099182°		 ← 124.99 m → S 65.837651°
E100.101929°		 →
↑
125 m
↓
↑
125 m
↓
S 65.838776°
E100.099182°		 ← 124.99 m →
15 624 m²		 S 65.838776°
E100.101929°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 101981 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 97695 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.778057098388672 y=0.745357513427734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.778057098388672 × 217)
    floor (0.778057098388672 × 131072)
    floor (101981.5)     		tx = 101981
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.745357513427734 × 217)
    floor (0.745357513427734 × 131072)
    floor (97695.5)     		ty = 97695
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 101981 / 97695 ti = "17/101981/97695"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/101981/97695.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 101981 ÷ 217
    101981 ÷ 131072     		x = 0.778053283691406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 97695 ÷ 217
    97695 ÷ 131072     		y = 0.745353698730469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.778053283691406 × 2 - 1) × π
    0.556106567382812 × 3.1415926535     		Λ = 1.74706031
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.745353698730469 × 2 - 1) × π
    -0.490707397460938 × 3.1415926535     		Φ = -1.54160275488139
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.74706031} λ = 1.74706031}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.54160275488139))-π/2
    2×atan(0.214037776276714)-π/2
    2×0.210856268259307-π/2
    0.421712536518615-1.57079632675     		φ = -1.14908379
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.74706031} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 100.099182°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.14908379 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.837651°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 101981 KachelY 97695 1.74706031 -1.14908379 100.099182 -65.837651
    Oben rechts KachelX + 1 101982 KachelY 97695 1.74710824 -1.14908379 100.101929 -65.837651
    Unten links KachelX 101981 KachelY + 1 97696 1.74706031 -1.14910341 100.099182 -65.838776
    Unten rechts KachelX + 1 101982 KachelY + 1 97696 1.74710824 -1.14910341 100.101929 -65.838776
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.14908379--1.14910341) × R
    1.9619999999998e-05 × 6371000     		dl = 124.999019999987m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.14908379--1.14910341) × R
    1.9619999999998e-05 × 6371000     		dr = 124.999019999987m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.74706031-1.74710824) × cos(-1.14908379) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.409323552766369 × 6371000     		do = 124.991870999627m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.74706031-1.74710824) × cos(-1.14910341) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.409305651609581 × 6371000     		du = 124.986404666051m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.14908379)-sin(-1.14910341))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.409323552766369-0.409305651609581)×R²
    abs(1.74710824-1.74706031)×1.79011567880139e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.79011567880139e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.79011567880139e-05×40589641000000     		ar = 15623.5197401115m²