Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 101981 / 97631
↖ ↑ ↗
← S 65.765599°
E100.099182°		 ← 125.34 m → S 65.765599°
E100.101929°		 →
↑
125.38 m
↓
↑
125.38 m
↓
S 65.766727°
E100.099182°		 ← 125.34 m →
15 715 m²		 S 65.766727°
E100.101929°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 101981 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 97631 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.778057098388672 y=0.744869232177734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.778057098388672 × 217)
    floor (0.778057098388672 × 131072)
    floor (101981.5)     		tx = 101981
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.744869232177734 × 217)
    floor (0.744869232177734 × 131072)
    floor (97631.5)     		ty = 97631
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 101981 / 97631 ti = "17/101981/97631"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/101981/97631.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 101981 ÷ 217
    101981 ÷ 131072     		x = 0.778053283691406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 97631 ÷ 217
    97631 ÷ 131072     		y = 0.744865417480469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.778053283691406 × 2 - 1) × π
    0.556106567382812 × 3.1415926535     		Λ = 1.74706031
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.744865417480469 × 2 - 1) × π
    -0.489730834960938 × 3.1415926535     		Φ = -1.5385347933057
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.74706031} λ = 1.74706031}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.5385347933057))-π/2
    2×atan(0.214695444284312)-π/2
    2×0.211485042173145-π/2
    0.422970084346291-1.57079632675     		φ = -1.14782624
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.74706031} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 100.099182°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.14782624 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.765599°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 101981 KachelY 97631 1.74706031 -1.14782624 100.099182 -65.765599
    Oben rechts KachelX + 1 101982 KachelY 97631 1.74710824 -1.14782624 100.101929 -65.765599
    Unten links KachelX 101981 KachelY + 1 97632 1.74706031 -1.14784592 100.099182 -65.766727
    Unten rechts KachelX + 1 101982 KachelY + 1 97632 1.74710824 -1.14784592 100.101929 -65.766727
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.14782624--1.14784592) × R
    1.96799999998554e-05 × 6371000     		dl = 125.381279999079m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.14782624--1.14784592) × R
    1.96799999998554e-05 × 6371000     		dr = 125.381279999079m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.74706031-1.74710824) × cos(-1.14782624) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.410470603965666 × 6371000     		do = 125.342136882358m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.74706031-1.74710824) × cos(-1.14784592) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.410452658209189 × 6371000     		du = 125.336656929731m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.14782624)-sin(-1.14784592))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.410470603965666-0.410452658209189)×R²
    abs(1.74710824-1.74706031)×1.79457564767893e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.79457564767893e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.79457564767893e-05×40589641000000     		ar = 15715.2140188606m²