Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 101979 / 97632
↖ ↑ ↗
← S 65.766727°
E100.093689°		 ← 125.36 m → S 65.766727°
E100.096436°		 →
↑
125.32 m
↓
↑
125.32 m
↓
S 65.767854°
E100.093689°		 ← 125.36 m →
15 710 m²		 S 65.767854°
E100.096436°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 101979 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 97632 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.778041839599609 y=0.744876861572266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.778041839599609 × 217)
    floor (0.778041839599609 × 131072)
    floor (101979.5)     		tx = 101979
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.744876861572266 × 217)
    floor (0.744876861572266 × 131072)
    floor (97632.5)     		ty = 97632
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 101979 / 97632 ti = "17/101979/97632"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/101979/97632.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 101979 ÷ 217
    101979 ÷ 131072     		x = 0.778038024902344
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 97632 ÷ 217
    97632 ÷ 131072     		y = 0.744873046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.778038024902344 × 2 - 1) × π
    0.556076049804688 × 3.1415926535     		Λ = 1.74696443
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.744873046875 × 2 - 1) × π
    -0.48974609375 × 3.1415926535     		Φ = -1.53858273020532
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.74696443} λ = 1.74696443}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.53858273020532))-π/2
    2×atan(0.214685152697026)-π/2
    2×0.211475204044156-π/2
    0.422950408088311-1.57079632675     		φ = -1.14784592
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.74696443} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 100.093689°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.14784592 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.766727°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 101979 KachelY 97632 1.74696443 -1.14784592 100.093689 -65.766727
    Oben rechts KachelX + 1 101980 KachelY 97632 1.74701237 -1.14784592 100.096436 -65.766727
    Unten links KachelX 101979 KachelY + 1 97633 1.74696443 -1.14786559 100.093689 -65.767854
    Unten rechts KachelX + 1 101980 KachelY + 1 97633 1.74701237 -1.14786559 100.096436 -65.767854
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.14784592--1.14786559) × R
    1.96700000001382e-05 × 6371000     		dl = 125.31757000088m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.14784592--1.14786559) × R
    1.96700000001382e-05 × 6371000     		dr = 125.31757000088m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.74696443-1.74701237) × cos(-1.14784592) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.410452658209189 × 6371000     		do = 125.362806868426m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.74696443-1.74701237) × cos(-1.14786559) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.410434721412643 × 6371000     		du = 125.357328509068m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.14784592)-sin(-1.14786559))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.410452658209189-0.410434721412643)×R²
    abs(1.74701237-1.74696443)×1.79367965464916e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.79367965464916e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.79367965464916e-05×40589641000000     		ar = 15709.819058533m²