Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 10197 / 14375
↖ ↑ ↗
← S 79.331152°
E 44.055176°		 ← 452.33 m → S 79.331152°
E 44.077149°		 →
↑
452.28 m
↓
↑
452.28 m
↓
S 79.335219°
E 44.055176°		 ← 452.16 m →
204 540 m²		 S 79.335219°
E 44.077149°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 10197 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14375 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.622406005859375 y=0.877410888671875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.622406005859375 × 214)
    floor (0.622406005859375 × 16384)
    floor (10197.5)     		tx = 10197
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.877410888671875 × 214)
    floor (0.877410888671875 × 16384)
    floor (14375.5)     		ty = 14375
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 10197 / 14375 ti = "14/10197/14375"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/10197/14375.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 10197 ÷ 214
    10197 ÷ 16384     		x = 0.62237548828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14375 ÷ 214
    14375 ÷ 16384     		y = 0.87738037109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.62237548828125 × 2 - 1) × π
    0.2447509765625 × 3.1415926535     		Λ = 0.76890787
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.87738037109375 × 2 - 1) × π
    -0.7547607421875 × 3.1415926535     		Φ = -2.37115080280646
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.76890787} λ = 0.76890787}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.37115080280646))-π/2
    2×atan(0.0933732102726341)-π/2
    2×0.0931032611452539-π/2
    0.186206522290508-1.57079632675     		φ = -1.38458980
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.76890787} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 44.055176°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.38458980 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -79.331152°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 10197 KachelY 14375 0.76890787 -1.38458980 44.055176 -79.331152
    Oben rechts KachelX + 1 10198 KachelY 14375 0.76929137 -1.38458980 44.077149 -79.331152
    Unten links KachelX 10197 KachelY + 1 14376 0.76890787 -1.38466079 44.055176 -79.335219
    Unten rechts KachelX + 1 10198 KachelY + 1 14376 0.76929137 -1.38466079 44.077149 -79.335219
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.38458980--1.38466079) × R
    7.0989999999993e-05 × 6371000     		dl = 452.277289999955m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.38458980--1.38466079) × R
    7.0989999999993e-05 × 6371000     		dr = 452.277289999955m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.76890787-0.76929137) × cos(-1.38458980) × R
    0.000383499999999981 × 0.185132338278268 × 6371000     		do = 452.329861769998m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.76890787-0.76929137) × cos(-1.38466079) × R
    0.000383499999999981 × 0.185062574973451 × 6371000     		du = 452.15941058725m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.38458980)-sin(-1.38466079))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.185132338278268-0.185062574973451)×R²
    abs(0.76929137-0.76890787)×6.97633048168944e-05×R²
    0.000383499999999981×6.97633048168944e-05×6371000²
    0.000383499999999981×6.97633048168944e-05×40589641000000     		ar = 204539.978552785m²