Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 101969 / 98266
↖ ↑ ↗
← S 66.471630°
E100.066223°		 ← 121.93 m → S 66.471630°
E100.068970°		 →
↑
121.88 m
↓
↑
121.88 m
↓
S 66.472726°
E100.066223°		 ← 121.92 m →
14 860 m²		 S 66.472726°
E100.068970°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 101969 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 98266 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.777965545654297 y=0.749713897705078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.777965545654297 × 217)
    floor (0.777965545654297 × 131072)
    floor (101969.5)     		tx = 101969
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.749713897705078 × 217)
    floor (0.749713897705078 × 131072)
    floor (98266.5)     		ty = 98266
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 101969 / 98266 ti = "17/101969/98266"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/101969/98266.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 101969 ÷ 217
    101969 ÷ 131072     		x = 0.777961730957031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 98266 ÷ 217
    98266 ÷ 131072     		y = 0.749710083007812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.777961730957031 × 2 - 1) × π
    0.555923461914062 × 3.1415926535     		Λ = 1.74648506
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.749710083007812 × 2 - 1) × π
    -0.499420166015625 × 3.1415926535     		Φ = -1.56897472456444
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.74648506} λ = 1.74648506}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.56897472456444))-π/2
    2×atan(0.208258595356837)-π/2
    2×0.205323759045329-π/2
    0.410647518090658-1.57079632675     		φ = -1.16014881
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.74648506} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 100.066223°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.16014881 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.471630°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 101969 KachelY 98266 1.74648506 -1.16014881 100.066223 -66.471630
    Oben rechts KachelX + 1 101970 KachelY 98266 1.74653300 -1.16014881 100.068970 -66.471630
    Unten links KachelX 101969 KachelY + 1 98267 1.74648506 -1.16016794 100.066223 -66.472726
    Unten rechts KachelX + 1 101970 KachelY + 1 98267 1.74653300 -1.16016794 100.068970 -66.472726
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.16014881--1.16016794) × R
    1.91300000000894e-05 × 6371000     		dl = 121.877230000569m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.16014881--1.16016794) × R
    1.91300000000894e-05 × 6371000     		dr = 121.877230000569m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.74648506-1.74653300) × cos(-1.16014881) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.39920309551459 × 6371000     		do = 121.926900857754m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.74648506-1.74653300) × cos(-1.16016794) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.399185555861455 × 6371000     		du = 121.921543796216m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.16014881)-sin(-1.16016794))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.39920309551459-0.399185555861455)×R²
    abs(1.74653300-1.74648506)×1.75396531351124e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.75396531351124e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.75396531351124e-05×40589641000000     		ar = 14859.7864877406m²