Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 101967 / 96562
↖ ↑ ↗
← S 64.531910°
E100.060730°		 ← 131.34 m → S 64.531910°
E100.063477°		 →
↑
131.31 m
↓
↑
131.31 m
↓
S 64.533091°
E100.060730°		 ← 131.33 m →
17 245 m²		 S 64.533091°
E100.063477°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 101967 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 96562 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.777950286865234 y=0.736713409423828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.777950286865234 × 217)
    floor (0.777950286865234 × 131072)
    floor (101967.5)     		tx = 101967
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.736713409423828 × 217)
    floor (0.736713409423828 × 131072)
    floor (96562.5)     		ty = 96562
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 101967 / 96562 ti = "17/101967/96562"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/101967/96562.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 101967 ÷ 217
    101967 ÷ 131072     		x = 0.777946472167969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 96562 ÷ 217
    96562 ÷ 131072     		y = 0.736709594726562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.777946472167969 × 2 - 1) × π
    0.555892944335938 × 3.1415926535     		Λ = 1.74638919
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.736709594726562 × 2 - 1) × π
    -0.473419189453125 × 3.1415926535     		Φ = -1.48729024761186
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.74638919} λ = 1.74638919}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.48729024761186))-π/2
    2×atan(0.225984187807325)-π/2
    2×0.222251008795549-π/2
    0.444502017591097-1.57079632675     		φ = -1.12629431
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.74638919} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 100.060730°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.12629431 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.531910°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 101967 KachelY 96562 1.74638919 -1.12629431 100.060730 -64.531910
    Oben rechts KachelX + 1 101968 KachelY 96562 1.74643713 -1.12629431 100.063477 -64.531910
    Unten links KachelX 101967 KachelY + 1 96563 1.74638919 -1.12631492 100.060730 -64.533091
    Unten rechts KachelX + 1 101968 KachelY + 1 96563 1.74643713 -1.12631492 100.063477 -64.533091
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.12629431--1.12631492) × R
    2.06099999999765e-05 × 6371000     		dl = 131.30630999985m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.12629431--1.12631492) × R
    2.06099999999765e-05 × 6371000     		dr = 131.30630999985m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.74638919-1.74643713) × cos(-1.12629431) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.430008341993335 × 6371000     		do = 131.335616059401m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.74638919-1.74643713) × cos(-1.12631492) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.429989734680526 × 6371000     		du = 131.329932907117m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.12629431)-sin(-1.12631492))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.430008341993335-0.429989734680526)×R²
    abs(1.74643713-1.74638919)×1.86073128094488e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.86073128094488e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.86073128094488e-05×40589641000000     		ar = 17244.8219999515m²