Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 101961 / 97638
↖ ↑ ↗
← S 65.773490°
E100.044251°		 ← 125.33 m → S 65.773490°
E100.046997°		 →
↑
125.32 m
↓
↑
125.32 m
↓
S 65.774617°
E100.044251°		 ← 125.32 m →
15 706 m²		 S 65.774617°
E100.046997°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 101961 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 97638 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.777904510498047 y=0.744922637939453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.777904510498047 × 217)
    floor (0.777904510498047 × 131072)
    floor (101961.5)     		tx = 101961
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.744922637939453 × 217)
    floor (0.744922637939453 × 131072)
    floor (97638.5)     		ty = 97638
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 101961 / 97638 ti = "17/101961/97638"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/101961/97638.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 101961 ÷ 217
    101961 ÷ 131072     		x = 0.777900695800781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 97638 ÷ 217
    97638 ÷ 131072     		y = 0.744918823242188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.777900695800781 × 2 - 1) × π
    0.555801391601562 × 3.1415926535     		Λ = 1.74610157
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.744918823242188 × 2 - 1) × π
    -0.489837646484375 × 3.1415926535     		Φ = -1.53887035160304
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.74610157} λ = 1.74610157}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.53887035160304))-π/2
    2×atan(0.214623413532516)-π/2
    2×0.211416184300589-π/2
    0.422832368601177-1.57079632675     		φ = -1.14796396
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.74610157} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 100.044251°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.14796396 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.773490°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 101961 KachelY 97638 1.74610157 -1.14796396 100.044251 -65.773490
    Oben rechts KachelX + 1 101962 KachelY 97638 1.74614951 -1.14796396 100.046997 -65.773490
    Unten links KachelX 101961 KachelY + 1 97639 1.74610157 -1.14798363 100.044251 -65.774617
    Unten rechts KachelX + 1 101962 KachelY + 1 97639 1.74614951 -1.14798363 100.046997 -65.774617
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.14796396--1.14798363) × R
    1.96699999999161e-05 × 6371000     		dl = 125.317569999466m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.14796396--1.14798363) × R
    1.96699999999161e-05 × 6371000     		dr = 125.317569999466m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.74610157-1.74614951) × cos(-1.14796396) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.41034501680943 × 6371000     		do = 125.32993041425m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.74610157-1.74614951) × cos(-1.14798363) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.410327079060021 × 6371000     		du = 125.324451763863m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.14796396)-sin(-1.14798363))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.41034501680943-0.410327079060021)×R²
    abs(1.74614951-1.74610157)×1.79377494087252e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.79377494087252e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.79377494087252e-05×40589641000000     		ar = 15705.6990426123m²