Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 101948 / 96340
↖ ↑ ↗
← S 64.268454°
E100.008545°		 ← 132.60 m → S 64.268454°
E100.011292°		 →
↑
132.58 m
↓
↑
132.58 m
↓
S 64.269646°
E100.008545°		 ← 132.60 m →
17 580 m²		 S 64.269646°
E100.011292°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 101948 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 96340 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.777805328369141 y=0.735019683837891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.777805328369141 × 217)
    floor (0.777805328369141 × 131072)
    floor (101948.5)     		tx = 101948
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.735019683837891 × 217)
    floor (0.735019683837891 × 131072)
    floor (96340.5)     		ty = 96340
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 101948 / 96340 ti = "17/101948/96340"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/101948/96340.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 101948 ÷ 217
    101948 ÷ 131072     		x = 0.777801513671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 96340 ÷ 217
    96340 ÷ 131072     		y = 0.735015869140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.777801513671875 × 2 - 1) × π
    0.55560302734375 × 3.1415926535     		Λ = 1.74547839
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.735015869140625 × 2 - 1) × π
    -0.47003173828125 × 3.1415926535     		Φ = -1.47664825589621
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.74547839} λ = 1.74547839}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.47664825589621))-π/2
    2×atan(0.228401951755789)-π/2
    2×0.224550100345901-π/2
    0.449100200691802-1.57079632675     		φ = -1.12169613
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.74547839} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 100.008545°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.12169613 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.268454°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 101948 KachelY 96340 1.74547839 -1.12169613 100.008545 -64.268454
    Oben rechts KachelX + 1 101949 KachelY 96340 1.74552633 -1.12169613 100.011292 -64.268454
    Unten links KachelX 101948 KachelY + 1 96341 1.74547839 -1.12171694 100.008545 -64.269646
    Unten rechts KachelX + 1 101949 KachelY + 1 96341 1.74552633 -1.12171694 100.011292 -64.269646
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.12169613--1.12171694) × R
    2.08100000000933e-05 × 6371000     		dl = 132.580510000594m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.12169613--1.12171694) × R
    2.08100000000933e-05 × 6371000     		dr = 132.580510000594m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.74547839-1.74552633) × cos(-1.12169613) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.434155132947841 × 6371000     		do = 132.602152755306m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.74547839-1.74552633) × cos(-1.12171694) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.434136386412534 × 6371000     		du = 132.596427080887m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.12169613)-sin(-1.12171694))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.434155132947841-0.434136386412534)×R²
    abs(1.74552633-1.74547839)×1.87465353068683e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.87465353068683e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.87465353068683e-05×40589641000000     		ar = 17580.0814836554m²