Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 101940 / 98876
↖ ↑ ↗
← S 67.131560°
E 99.986572°		 ← 118.69 m → S 67.131560°
E 99.989319°		 →
↑
118.69 m
↓
↑
118.69 m
↓
S 67.132628°
E 99.986572°		 ← 118.69 m →
14 088 m²		 S 67.132628°
E 99.989319°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 101940 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 98876 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.777744293212891 y=0.754367828369141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.777744293212891 × 217)
    floor (0.777744293212891 × 131072)
    floor (101940.5)     		tx = 101940
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.754367828369141 × 217)
    floor (0.754367828369141 × 131072)
    floor (98876.5)     		ty = 98876
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 101940 / 98876 ti = "17/101940/98876"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/101940/98876.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 101940 ÷ 217
    101940 ÷ 131072     		x = 0.777740478515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 98876 ÷ 217
    98876 ÷ 131072     		y = 0.754364013671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.777740478515625 × 2 - 1) × π
    0.55548095703125 × 3.1415926535     		Λ = 1.74509489
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.754364013671875 × 2 - 1) × π
    -0.50872802734375 × 3.1415926535     		Φ = -1.59821623333267
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.74509489} λ = 1.74509489}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.59821623333267))-π/2
    2×atan(0.202256975664316)-π/2
    2×0.199564783837452-π/2
    0.399129567674903-1.57079632675     		φ = -1.17166676
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.74509489} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 99.986572°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.17166676 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.131560°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 101940 KachelY 98876 1.74509489 -1.17166676 99.986572 -67.131560
    Oben rechts KachelX + 1 101941 KachelY 98876 1.74514283 -1.17166676 99.989319 -67.131560
    Unten links KachelX 101940 KachelY + 1 98877 1.74509489 -1.17168539 99.986572 -67.132628
    Unten rechts KachelX + 1 101941 KachelY + 1 98877 1.74514283 -1.17168539 99.989319 -67.132628
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.17166676--1.17168539) × R
    1.86300000000195e-05 × 6371000     		dl = 118.691730000124m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.17166676--1.17168539) × R
    1.86300000000195e-05 × 6371000     		dr = 118.691730000124m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.74509489-1.74514283) × cos(-1.17166676) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.388616472814617 × 6371000     		do = 118.693473785516m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.74509489-1.74514283) × cos(-1.17168539) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.388599307072487 × 6371000     		du = 118.688230926024m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.17166676)-sin(-1.17168539))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.388616472814617-0.388599307072487)×R²
    abs(1.74514283-1.74509489)×1.71657421302318e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.71657421302318e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.71657421302318e-05×40589641000000     		ar = 14087.6226016567m²