Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 10194 / 14395
↖ ↑ ↗
← S 79.412203°
E 43.989258°		 ← 448.93 m → S 79.412203°
E 44.011230°		 →
↑
448.84 m
↓
↑
448.84 m
↓
S 79.416240°
E 43.989258°		 ← 448.76 m →
201 460 m²		 S 79.416240°
E 44.011230°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 10194 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14395 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.622222900390625 y=0.878631591796875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.622222900390625 × 214)
    floor (0.622222900390625 × 16384)
    floor (10194.5)     		tx = 10194
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.878631591796875 × 214)
    floor (0.878631591796875 × 16384)
    floor (14395.5)     		ty = 14395
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 10194 / 14395 ti = "14/10194/14395"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/10194/14395.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 10194 ÷ 214
    10194 ÷ 16384     		x = 0.6221923828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14395 ÷ 214
    14395 ÷ 16384     		y = 0.87860107421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.6221923828125 × 2 - 1) × π
    0.244384765625 × 3.1415926535     		Λ = 0.76775738
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.87860107421875 × 2 - 1) × π
    -0.7572021484375 × 3.1415926535     		Φ = -2.37882070674567
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.76775738} λ = 0.76775738}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.37882070674567))-π/2
    2×atan(0.0926597861639435)-π/2
    2×0.0923959567122504-π/2
    0.184791913424501-1.57079632675     		φ = -1.38600441
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.76775738} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 43.989258°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.38600441 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -79.412203°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 10194 KachelY 14395 0.76775738 -1.38600441 43.989258 -79.412203
    Oben rechts KachelX + 1 10195 KachelY 14395 0.76814088 -1.38600441 44.011230 -79.412203
    Unten links KachelX 10194 KachelY + 1 14396 0.76775738 -1.38607486 43.989258 -79.416240
    Unten rechts KachelX + 1 10195 KachelY + 1 14396 0.76814088 -1.38607486 44.011230 -79.416240
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.38600441--1.38607486) × R
    7.04499999999442e-05 × 6371000     		dl = 448.836949999644m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.38600441--1.38607486) × R
    7.04499999999442e-05 × 6371000     		dr = 448.836949999644m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.76775738-0.76814088) × cos(-1.38600441) × R
    0.000383499999999981 × 0.183741997021758 × 6371000     		do = 448.932870870304m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.76775738-0.76814088) × cos(-1.38607486) × R
    0.000383499999999981 × 0.183672746011926 × 6371000     		du = 448.763671366878m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.38600441)-sin(-1.38607486))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.183741997021758-0.183672746011926)×R²
    abs(0.76814088-0.76775738)×6.92510098319055e-05×R²
    0.000383499999999981×6.92510098319055e-05×6371000²
    0.000383499999999981×6.92510098319055e-05×40589641000000     		ar = 201459.689104417m²