Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 101935 / 98881
↖ ↑ ↗
← S 67.136896°
E 99.972839°		 ← 118.67 m → S 67.136896°
E 99.975586°		 →
↑
118.69 m
↓
↑
118.69 m
↓
S 67.137964°
E 99.972839°		 ← 118.66 m →
14 085 m²		 S 67.137964°
E 99.975586°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 101935 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 98881 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.777706146240234 y=0.754405975341797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.777706146240234 × 217)
    floor (0.777706146240234 × 131072)
    floor (101935.5)     		tx = 101935
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.754405975341797 × 217)
    floor (0.754405975341797 × 131072)
    floor (98881.5)     		ty = 98881
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 101935 / 98881 ti = "17/101935/98881"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/101935/98881.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 101935 ÷ 217
    101935 ÷ 131072     		x = 0.777702331542969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 98881 ÷ 217
    98881 ÷ 131072     		y = 0.754402160644531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.777702331542969 × 2 - 1) × π
    0.555404663085938 × 3.1415926535     		Λ = 1.74485521
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.754402160644531 × 2 - 1) × π
    -0.508804321289062 × 3.1415926535     		Φ = -1.59845591783077
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.74485521} λ = 1.74485521}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.59845591783077))-π/2
    2×atan(0.202208503611848)-π/2
    2×0.199518216307599-π/2
    0.399036432615198-1.57079632675     		φ = -1.17175989
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.74485521} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 99.972839°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.17175989 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.136896°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 101935 KachelY 98881 1.74485521 -1.17175989 99.972839 -67.136896
    Oben rechts KachelX + 1 101936 KachelY 98881 1.74490315 -1.17175989 99.975586 -67.136896
    Unten links KachelX 101935 KachelY + 1 98882 1.74485521 -1.17177852 99.972839 -67.137964
    Unten rechts KachelX + 1 101936 KachelY + 1 98882 1.74490315 -1.17177852 99.975586 -67.137964
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.17175989--1.17177852) × R
    1.86300000000195e-05 × 6371000     		dl = 118.691730000124m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.17175989--1.17177852) × R
    1.86300000000195e-05 × 6371000     		dr = 118.691730000124m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.74485521-1.74490315) × cos(-1.17175989) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.388530661184003 × 6371000     		do = 118.667264704736m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.74485521-1.74490315) × cos(-1.17177852) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.388513494767708 × 6371000     		du = 118.662021639335m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.17175989)-sin(-1.17177852))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.388530661184003-0.388513494767708)×R²
    abs(1.74490315-1.74485521)×1.71664162951224e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.71664162951224e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.71664162951224e-05×40589641000000     		ar = 14084.5117882771m²