Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 101934 / 98882
↖ ↑ ↗
← S 67.137964°
E 99.970093°		 ← 118.66 m → S 67.137964°
E 99.972839°		 →
↑
118.63 m
↓
↑
118.63 m
↓
S 67.139031°
E 99.970093°		 ← 118.66 m →
14 076 m²		 S 67.139031°
E 99.972839°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 101934 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 98882 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.777698516845703 y=0.754413604736328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.777698516845703 × 217)
    floor (0.777698516845703 × 131072)
    floor (101934.5)     		tx = 101934
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.754413604736328 × 217)
    floor (0.754413604736328 × 131072)
    floor (98882.5)     		ty = 98882
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 101934 / 98882 ti = "17/101934/98882"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/101934/98882.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 101934 ÷ 217
    101934 ÷ 131072     		x = 0.777694702148438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 98882 ÷ 217
    98882 ÷ 131072     		y = 0.754409790039062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.777694702148438 × 2 - 1) × π
    0.555389404296875 × 3.1415926535     		Λ = 1.74480727
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.754409790039062 × 2 - 1) × π
    -0.508819580078125 × 3.1415926535     		Φ = -1.59850385473039
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.74480727} λ = 1.74480727}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.59850385473039))-π/2
    2×atan(0.202198810595437)-π/2
    2×0.199508904035706-π/2
    0.399017808071412-1.57079632675     		φ = -1.17177852
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.74480727} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 99.970093°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.17177852 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.137964°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 101934 KachelY 98882 1.74480727 -1.17177852 99.970093 -67.137964
    Oben rechts KachelX + 1 101935 KachelY 98882 1.74485521 -1.17177852 99.972839 -67.137964
    Unten links KachelX 101934 KachelY + 1 98883 1.74480727 -1.17179714 99.970093 -67.139031
    Unten rechts KachelX + 1 101935 KachelY + 1 98883 1.74485521 -1.17179714 99.972839 -67.139031
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.17177852--1.17179714) × R
    1.86200000000802e-05 × 6371000     		dl = 118.628020000511m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.17177852--1.17179714) × R
    1.86200000000802e-05 × 6371000     		dr = 118.628020000511m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.74480727-1.74485521) × cos(-1.17177852) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.388513494767708 × 6371000     		do = 118.662021639885m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.74480727-1.74485521) × cos(-1.17179714) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.388496337431071 × 6371000     		du = 118.656781347646m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.17177852)-sin(-1.17179714))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.388513494767708-0.388496337431071)×R²
    abs(1.74485521-1.74480727)×1.71573366365418e-05×R²
    4.79400000001906e-05×1.71573366365418e-05×6371000²
    4.79400000001906e-05×1.71573366365418e-05×40589641000000     		ar = 14076.3298540587m²