Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 101934 / 98878
↖ ↑ ↗
← S 67.133695°
E 99.970093°		 ← 118.68 m → S 67.133695°
E 99.972839°		 →
↑
118.63 m
↓
↑
118.63 m
↓
S 67.134762°
E 99.970093°		 ← 118.68 m →
14 079 m²		 S 67.134762°
E 99.972839°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 101934 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 98878 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.777698516845703 y=0.754383087158203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.777698516845703 × 217)
    floor (0.777698516845703 × 131072)
    floor (101934.5)     		tx = 101934
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.754383087158203 × 217)
    floor (0.754383087158203 × 131072)
    floor (98878.5)     		ty = 98878
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 101934 / 98878 ti = "17/101934/98878"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/101934/98878.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 101934 ÷ 217
    101934 ÷ 131072     		x = 0.777694702148438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 98878 ÷ 217
    98878 ÷ 131072     		y = 0.754379272460938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.777694702148438 × 2 - 1) × π
    0.555389404296875 × 3.1415926535     		Λ = 1.74480727
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.754379272460938 × 2 - 1) × π
    -0.508758544921875 × 3.1415926535     		Φ = -1.59831210713191
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.74480727} λ = 1.74480727}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.59831210713191))-π/2
    2×atan(0.202237585449158)-π/2
    2×0.199546155591373-π/2
    0.399092311182746-1.57079632675     		φ = -1.17170402
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.74480727} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 99.970093°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.17170402 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.133695°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 101934 KachelY 98878 1.74480727 -1.17170402 99.970093 -67.133695
    Oben rechts KachelX + 1 101935 KachelY 98878 1.74485521 -1.17170402 99.972839 -67.133695
    Unten links KachelX 101934 KachelY + 1 98879 1.74480727 -1.17172264 99.970093 -67.134762
    Unten rechts KachelX + 1 101935 KachelY + 1 98879 1.74485521 -1.17172264 99.972839 -67.134762
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.17170402--1.17172264) × R
    1.86200000000802e-05 × 6371000     		dl = 118.628020000511m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.17170402--1.17172264) × R
    1.86200000000802e-05 × 6371000     		dr = 118.628020000511m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.74480727-1.74485521) × cos(-1.17170402) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.388582141195482 × 6371000     		do = 118.682988025887m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.74480727-1.74485521) × cos(-1.17172264) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.388564984397824 × 6371000     		du = 118.677747898266m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.17170402)-sin(-1.17172264))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.388582141195482-0.388564984397824)×R²
    abs(1.74485521-1.74480727)×1.71567976587905e-05×R²
    4.79400000001906e-05×1.71567976587905e-05×6371000²
    4.79400000001906e-05×1.71567976587905e-05×40589641000000     		ar = 14078.8170647616m²