Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 101933 / 98877
↖ ↑ ↗
← S 67.132628°
E 99.967346°		 ← 118.66 m → S 67.132628°
E 99.970093°		 →
↑
118.69 m
↓
↑
118.69 m
↓
S 67.133695°
E 99.967346°		 ← 118.66 m →
14 084 m²		 S 67.133695°
E 99.970093°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 101933 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 98877 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.777690887451172 y=0.754375457763672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.777690887451172 × 217)
    floor (0.777690887451172 × 131072)
    floor (101933.5)     		tx = 101933
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.754375457763672 × 217)
    floor (0.754375457763672 × 131072)
    floor (98877.5)     		ty = 98877
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 101933 / 98877 ti = "17/101933/98877"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/101933/98877.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 101933 ÷ 217
    101933 ÷ 131072     		x = 0.777687072753906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 98877 ÷ 217
    98877 ÷ 131072     		y = 0.754371643066406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.777687072753906 × 2 - 1) × π
    0.555374145507812 × 3.1415926535     		Λ = 1.74475934
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.754371643066406 × 2 - 1) × π
    -0.508743286132812 × 3.1415926535     		Φ = -1.59826417023229
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.74475934} λ = 1.74475934}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.59826417023229))-π/2
    2×atan(0.20224728032436)-π/2
    2×0.199555469508713-π/2
    0.399110939017425-1.57079632675     		φ = -1.17168539
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.74475934} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 99.967346°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.17168539 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.132628°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 101933 KachelY 98877 1.74475934 -1.17168539 99.967346 -67.132628
    Oben rechts KachelX + 1 101934 KachelY 98877 1.74480727 -1.17168539 99.970093 -67.132628
    Unten links KachelX 101933 KachelY + 1 98878 1.74475934 -1.17170402 99.967346 -67.133695
    Unten rechts KachelX + 1 101934 KachelY + 1 98878 1.74480727 -1.17170402 99.970093 -67.133695
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.17168539--1.17170402) × R
    1.86300000000195e-05 × 6371000     		dl = 118.691730000124m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.17168539--1.17170402) × R
    1.86300000000195e-05 × 6371000     		dr = 118.691730000124m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.74475934-1.74480727) × cos(-1.17168539) × R
    4.79299999998073e-05 × 0.388599307072487 × 6371000     		do = 118.663473263771m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.74475934-1.74480727) × cos(-1.17170402) × R
    4.79299999998073e-05 × 0.388582141195482 × 6371000     		du = 118.658231456722m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.17168539)-sin(-1.17170402))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.388599307072487-0.388582141195482)×R²
    abs(1.74480727-1.74475934)×1.71658770041216e-05×R²
    4.79299999998073e-05×1.71658770041216e-05×6371000²
    4.79299999998073e-05×1.71658770041216e-05×40589641000000     		ar = 14084.0618502025m²