Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 101931 / 96367
↖ ↑ ↗
← S 64.300631°
E 99.961853°		 ← 132.45 m → S 64.300631°
E 99.964600°		 →
↑
132.45 m
↓
↑
132.45 m
↓
S 64.301822°
E 99.961853°		 ← 132.44 m →
17 543 m²		 S 64.301822°
E 99.964600°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 101931 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 96367 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.777675628662109 y=0.735225677490234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.777675628662109 × 217)
    floor (0.777675628662109 × 131072)
    floor (101931.5)     		tx = 101931
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.735225677490234 × 217)
    floor (0.735225677490234 × 131072)
    floor (96367.5)     		ty = 96367
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 101931 / 96367 ti = "17/101931/96367"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/101931/96367.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 101931 ÷ 217
    101931 ÷ 131072     		x = 0.777671813964844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 96367 ÷ 217
    96367 ÷ 131072     		y = 0.735221862792969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.777671813964844 × 2 - 1) × π
    0.555343627929688 × 3.1415926535     		Λ = 1.74466346
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.735221862792969 × 2 - 1) × π
    -0.470443725585938 × 3.1415926535     		Φ = -1.47794255218595
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.74466346} λ = 1.74466346}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.47794255218595))-π/2
    2×atan(0.228106523184356)-π/2
    2×0.224269301400307-π/2
    0.448538602800614-1.57079632675     		φ = -1.12225772
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.74466346} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 99.961853°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.12225772 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.300631°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 101931 KachelY 96367 1.74466346 -1.12225772 99.961853 -64.300631
    Oben rechts KachelX + 1 101932 KachelY 96367 1.74471140 -1.12225772 99.964600 -64.300631
    Unten links KachelX 101931 KachelY + 1 96368 1.74466346 -1.12227851 99.961853 -64.301822
    Unten rechts KachelX + 1 101932 KachelY + 1 96368 1.74471140 -1.12227851 99.964600 -64.301822
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.12225772--1.12227851) × R
    2.07899999999928e-05 × 6371000     		dl = 132.453089999954m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.12225772--1.12227851) × R
    2.07899999999928e-05 × 6371000     		dr = 132.453089999954m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.74466346-1.74471140) × cos(-1.12225772) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.433649162831327 × 6371000     		do = 132.447616458052m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.74466346-1.74471140) × cos(-1.12227851) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.433630429247067 × 6371000     		du = 132.441894739216m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.12225772)-sin(-1.12227851))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.433649162831327-0.433630429247067)×R²
    abs(1.74471140-1.74466346)×1.87335842600223e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.87335842600223e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.87335842600223e-05×40589641000000     		ar = 17542.7171337882m²