Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 101929 / 96365
↖ ↑ ↗
← S 64.298249°
E 99.956360°		 ← 132.43 m → S 64.298249°
E 99.959106°		 →
↑
132.45 m
↓
↑
132.45 m
↓
S 64.299440°
E 99.956360°		 ← 132.43 m →
17 541 m²		 S 64.299440°
E 99.959106°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 101929 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 96365 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.777660369873047 y=0.735210418701172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.777660369873047 × 217)
    floor (0.777660369873047 × 131072)
    floor (101929.5)     		tx = 101929
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.735210418701172 × 217)
    floor (0.735210418701172 × 131072)
    floor (96365.5)     		ty = 96365
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 101929 / 96365 ti = "17/101929/96365"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/101929/96365.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 101929 ÷ 217
    101929 ÷ 131072     		x = 0.777656555175781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 96365 ÷ 217
    96365 ÷ 131072     		y = 0.735206604003906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.777656555175781 × 2 - 1) × π
    0.555313110351562 × 3.1415926535     		Λ = 1.74456759
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.735206604003906 × 2 - 1) × π
    -0.470413208007812 × 3.1415926535     		Φ = -1.47784667838671
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.74456759} λ = 1.74456759}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.47784667838671))-π/2
    2×atan(0.228128393671752)-π/2
    2×0.224290090094474-π/2
    0.448580180188947-1.57079632675     		φ = -1.12221615
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.74456759} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 99.956360°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.12221615 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.298249°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 101929 KachelY 96365 1.74456759 -1.12221615 99.956360 -64.298249
    Oben rechts KachelX + 1 101930 KachelY 96365 1.74461552 -1.12221615 99.959106 -64.298249
    Unten links KachelX 101929 KachelY + 1 96366 1.74456759 -1.12223694 99.956360 -64.299440
    Unten rechts KachelX + 1 101930 KachelY + 1 96366 1.74461552 -1.12223694 99.959106 -64.299440
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.12221615--1.12223694) × R
    2.07899999999928e-05 × 6371000     		dl = 132.453089999954m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.12221615--1.12223694) × R
    2.07899999999928e-05 × 6371000     		dr = 132.453089999954m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.74456759-1.74461552) × cos(-1.12221615) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.433686620426901 × 6371000     		do = 132.431426797479m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.74456759-1.74461552) × cos(-1.12223694) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.433667887217426 × 6371000     		du = 132.425706386605m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.12221615)-sin(-1.12223694))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.433686620426901-0.433667887217426)×R²
    abs(1.74461552-1.74456759)×1.87332094747639e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.87332094747639e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.87332094747639e-05×40589641000000     		ar = 17540.57285002m²