Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 101925 / 96356
↖ ↑ ↗
← S 64.287526°
E 99.945374°		 ← 132.51 m → S 64.287526°
E 99.948120°		 →
↑
132.52 m
↓
↑
132.52 m
↓
S 64.288718°
E 99.945374°		 ← 132.50 m →
17 559 m²		 S 64.288718°
E 99.948120°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 101925 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 96356 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.777629852294922 y=0.735141754150391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.777629852294922 × 217)
    floor (0.777629852294922 × 131072)
    floor (101925.5)     		tx = 101925
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.735141754150391 × 217)
    floor (0.735141754150391 × 131072)
    floor (96356.5)     		ty = 96356
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 101925 / 96356 ti = "17/101925/96356"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/101925/96356.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 101925 ÷ 217
    101925 ÷ 131072     		x = 0.777626037597656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 96356 ÷ 217
    96356 ÷ 131072     		y = 0.735137939453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.777626037597656 × 2 - 1) × π
    0.555252075195312 × 3.1415926535     		Λ = 1.74437584
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.735137939453125 × 2 - 1) × π
    -0.47027587890625 × 3.1415926535     		Φ = -1.47741524629013
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.74437584} λ = 1.74437584}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.47741524629013))-π/2
    2×atan(0.228226836817162)-π/2
    2×0.224383661445193-π/2
    0.448767322890387-1.57079632675     		φ = -1.12202900
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.74437584} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 99.945374°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.12202900 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.287526°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 101925 KachelY 96356 1.74437584 -1.12202900 99.945374 -64.287526
    Oben rechts KachelX + 1 101926 KachelY 96356 1.74442378 -1.12202900 99.948120 -64.287526
    Unten links KachelX 101925 KachelY + 1 96357 1.74437584 -1.12204980 99.945374 -64.288718
    Unten rechts KachelX + 1 101926 KachelY + 1 96357 1.74442378 -1.12204980 99.948120 -64.288718
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.12202900--1.12204980) × R
    2.0800000000154e-05 × 6371000     		dl = 132.516800000981m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.12202900--1.12204980) × R
    2.0800000000154e-05 × 6371000     		dr = 132.516800000981m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.74437584-1.74442378) × cos(-1.12202900) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.433855246915265 × 6371000     		do = 132.510559841891m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.74437584-1.74442378) × cos(-1.12204980) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.433836506383574 × 6371000     		du = 132.504836001131m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.12202900)-sin(-1.12204980))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.433855246915265-0.433836506383574)×R²
    abs(1.74442378-1.74437584)×1.8740531690542e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.8740531690542e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.8740531690542e-05×40589641000000     		ar = 17559.4961047796m²