Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 101923 / 96359
↖ ↑ ↗
← S 64.291101°
E 99.939881°		 ← 132.47 m → S 64.291101°
E 99.942627°		 →
↑
132.52 m
↓
↑
132.52 m
↓
S 64.292293°
E 99.939881°		 ← 132.46 m →
17 554 m²		 S 64.292293°
E 99.942627°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 101923 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 96359 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.777614593505859 y=0.735164642333984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.777614593505859 × 217)
    floor (0.777614593505859 × 131072)
    floor (101923.5)     		tx = 101923
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.735164642333984 × 217)
    floor (0.735164642333984 × 131072)
    floor (96359.5)     		ty = 96359
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 101923 / 96359 ti = "17/101923/96359"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/101923/96359.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 101923 ÷ 217
    101923 ÷ 131072     		x = 0.777610778808594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 96359 ÷ 217
    96359 ÷ 131072     		y = 0.735160827636719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.777610778808594 × 2 - 1) × π
    0.555221557617188 × 3.1415926535     		Λ = 1.74427997
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.735160827636719 × 2 - 1) × π
    -0.470321655273438 × 3.1415926535     		Φ = -1.47755905698899
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.74427997} λ = 1.74427997}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.47755905698899))-π/2
    2×atan(0.228194017716186)-π/2
    2×0.224352466953329-π/2
    0.448704933906657-1.57079632675     		φ = -1.12209139
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.74427997} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 99.939881°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.12209139 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.291101°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 101923 KachelY 96359 1.74427997 -1.12209139 99.939881 -64.291101
    Oben rechts KachelX + 1 101924 KachelY 96359 1.74432790 -1.12209139 99.942627 -64.291101
    Unten links KachelX 101923 KachelY + 1 96360 1.74427997 -1.12211219 99.939881 -64.292293
    Unten rechts KachelX + 1 101924 KachelY + 1 96360 1.74432790 -1.12211219 99.942627 -64.292293
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.12209139--1.12211219) × R
    2.0799999999932e-05 × 6371000     		dl = 132.516799999567m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.12209139--1.12211219) × R
    2.0799999999932e-05 × 6371000     		dr = 132.516799999567m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.74427997-1.74432790) × cos(-1.12209139) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.433799033767213 × 6371000     		do = 132.465753563276m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.74427997-1.74432790) × cos(-1.12211219) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.433780292672553 × 6371000     		du = 132.460030744566m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.12209139)-sin(-1.12211219))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.433799033767213-0.433780292672553)×R²
    abs(1.74432790-1.74427997)×1.87410946608235e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.87410946608235e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.87410946608235e-05×40589641000000     		ar = 17553.5585875477m²