Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 101921 / 97839
↖ ↑ ↗
← S 65.999033°
E 99.934387°		 ← 124.23 m → S 65.999033°
E 99.937134°		 →
↑
124.23 m
↓
↑
124.23 m
↓
S 66.000150°
E 99.934387°		 ← 124.23 m →
15 434 m²		 S 66.000150°
E 99.937134°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 101921 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 97839 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.777599334716797 y=0.746456146240234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.777599334716797 × 217)
    floor (0.777599334716797 × 131072)
    floor (101921.5)     		tx = 101921
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.746456146240234 × 217)
    floor (0.746456146240234 × 131072)
    floor (97839.5)     		ty = 97839
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 101921 / 97839 ti = "17/101921/97839"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/101921/97839.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 101921 ÷ 217
    101921 ÷ 131072     		x = 0.777595520019531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 97839 ÷ 217
    97839 ÷ 131072     		y = 0.746452331542969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.777595520019531 × 2 - 1) × π
    0.555191040039062 × 3.1415926535     		Λ = 1.74418409
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.746452331542969 × 2 - 1) × π
    -0.492904663085938 × 3.1415926535     		Φ = -1.54850566842667
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.74418409} λ = 1.74418409}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.54850566842667))-π/2
    2×atan(0.212565379771204)-π/2
    2×0.20944794714292-π/2
    0.418895894285841-1.57079632675     		φ = -1.15190043
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.74418409} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 99.934387°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.15190043 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.999033°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 101921 KachelY 97839 1.74418409 -1.15190043 99.934387 -65.999033
    Oben rechts KachelX + 1 101922 KachelY 97839 1.74423203 -1.15190043 99.937134 -65.999033
    Unten links KachelX 101921 KachelY + 1 97840 1.74418409 -1.15191993 99.934387 -66.000150
    Unten rechts KachelX + 1 101922 KachelY + 1 97840 1.74423203 -1.15191993 99.937134 -66.000150
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.15190043--1.15191993) × R
    1.95000000000611e-05 × 6371000     		dl = 124.234500000389m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.15190043--1.15191993) × R
    1.95000000000611e-05 × 6371000     		dr = 124.234500000389m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.74418409-1.74423203) × cos(-1.15190043) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.406752060299937 × 6371000     		do = 124.232549013551m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.74418409-1.74423203) × cos(-1.15191993) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.406734246220035 × 6371000     		du = 124.227108135015m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.15190043)-sin(-1.15191993))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.406752060299937-0.406734246220035)×R²
    abs(1.74423203-1.74418409)×1.78140799019233e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.78140799019233e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.78140799019233e-05×40589641000000     		ar = 15433.6306384806m²