Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 10192 / 2500
↖ ↑ ↗
← N 77.137612°
E 43.945312°		 ← 543.90 m → N 77.137612°
E 43.967285°		 →
↑
543.96 m
↓
↑
543.96 m
↓
N 77.132720°
E 43.945312°		 ← 544.10 m →
295 912 m²		 N 77.132720°
E 43.967285°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 10192 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2500 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.622100830078125 y=0.152618408203125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.622100830078125 × 214)
    floor (0.622100830078125 × 16384)
    floor (10192.5)     		tx = 10192
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.152618408203125 × 214)
    floor (0.152618408203125 × 16384)
    floor (2500.5)     		ty = 2500
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 10192 / 2500 ti = "14/10192/2500"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/10192/2500.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 10192 ÷ 214
    10192 ÷ 16384     		x = 0.6220703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2500 ÷ 214
    2500 ÷ 16384     		y = 0.152587890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.6220703125 × 2 - 1) × π
    0.244140625 × 3.1415926535     		Λ = 0.76699039
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.152587890625 × 2 - 1) × π
    0.69482421875 × 3.1415926535     		Φ = 2.18285466109888
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.76699039} λ = 0.76699039}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.18285466109888))-π/2
    2×atan(8.87159554406223)-π/2
    2×1.45855081488398-π/2
    2.91710162976797-1.57079632675     		φ = 1.34630530
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.76699039} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 43.945312°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34630530 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.137612°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 10192 KachelY 2500 0.76699039 1.34630530 43.945312 77.137612
    Oben rechts KachelX + 1 10193 KachelY 2500 0.76737389 1.34630530 43.967285 77.137612
    Unten links KachelX 10192 KachelY + 1 2501 0.76699039 1.34621992 43.945312 77.132720
    Unten rechts KachelX + 1 10193 KachelY + 1 2501 0.76737389 1.34621992 43.967285 77.132720
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34630530-1.34621992) × R
    8.53800000000238e-05 × 6371000     		dl = 543.955980000151m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34630530-1.34621992) × R
    8.53800000000238e-05 × 6371000     		dr = 543.955980000151m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.76699039-0.76737389) × cos(1.34630530) × R
    0.000383499999999981 × 0.22261018917391 × 6371000     		do = 543.898689089519m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.76699039-0.76737389) × cos(1.34621992) × R
    0.000383499999999981 × 0.222693425967843 × 6371000     		du = 544.102059758546m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34630530)-sin(1.34621992))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.22261018917391-0.222693425967843)×R²
    abs(0.76737389-0.76699039)×8.32367939336554e-05×R²
    0.000383499999999981×8.32367939336554e-05×6371000²
    0.000383499999999981×8.32367939336554e-05×40589641000000     		ar = 295912.256970252m²