Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 101911 / 98858
↖ ↑ ↗
← S 67.112340°
E 99.906921°		 ← 118.79 m → S 67.112340°
E 99.909668°		 →
↑
118.82 m
↓
↑
118.82 m
↓
S 67.113408°
E 99.906921°		 ← 118.78 m →
14 114 m²		 S 67.113408°
E 99.909668°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 101911 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 98858 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.777523040771484 y=0.754230499267578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.777523040771484 × 217)
    floor (0.777523040771484 × 131072)
    floor (101911.5)     		tx = 101911
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.754230499267578 × 217)
    floor (0.754230499267578 × 131072)
    floor (98858.5)     		ty = 98858
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 101911 / 98858 ti = "17/101911/98858"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/101911/98858.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 101911 ÷ 217
    101911 ÷ 131072     		x = 0.777519226074219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 98858 ÷ 217
    98858 ÷ 131072     		y = 0.754226684570312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.777519226074219 × 2 - 1) × π
    0.555038452148438 × 3.1415926535     		Λ = 1.74370472
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.754226684570312 × 2 - 1) × π
    -0.508453369140625 × 3.1415926535     		Φ = -1.59735336913951
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.74370472} λ = 1.74370472}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.59735336913951))-π/2
    2×atan(0.202431571281754)-π/2
    2×0.199732512121031-π/2
    0.399465024242062-1.57079632675     		φ = -1.17133130
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.74370472} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 99.906921°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.17133130 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.112340°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 101911 KachelY 98858 1.74370472 -1.17133130 99.906921 -67.112340
    Oben rechts KachelX + 1 101912 KachelY 98858 1.74375266 -1.17133130 99.909668 -67.112340
    Unten links KachelX 101911 KachelY + 1 98859 1.74370472 -1.17134995 99.906921 -67.113408
    Unten rechts KachelX + 1 101912 KachelY + 1 98859 1.74375266 -1.17134995 99.909668 -67.113408
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.17133130--1.17134995) × R
    1.86499999998979e-05 × 6371000     		dl = 118.81914999935m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.17133130--1.17134995) × R
    1.86499999998979e-05 × 6371000     		dr = 118.81914999935m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.74370472-1.74375266) × cos(-1.17133130) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.388925543655048 × 6371000     		do = 118.787871975667m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.74370472-1.74375266) × cos(-1.17134995) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.388908361917006 × 6371000     		du = 118.782624230612m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.17133130)-sin(-1.17134995))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.388925543655048-0.388908361917006)×R²
    abs(1.74375266-1.74370472)×1.71817380415495e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.71817380415495e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.71817380415495e-05×40589641000000     		ar = 14113.9622125934m²