Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 10191 / 2501
↖ ↑ ↗
← N 77.132720°
E 43.923340°		 ← 544.09 m → N 77.132720°
E 43.945312°		 →
↑
544.21 m
↓
↑
544.21 m
↓
N 77.127826°
E 43.923340°		 ← 544.29 m →
296 154 m²		 N 77.127826°
E 43.945312°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 10191 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2501 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.622039794921875 y=0.152679443359375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.622039794921875 × 214)
    floor (0.622039794921875 × 16384)
    floor (10191.5)     		tx = 10191
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.152679443359375 × 214)
    floor (0.152679443359375 × 16384)
    floor (2501.5)     		ty = 2501
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 10191 / 2501 ti = "14/10191/2501"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/10191/2501.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 10191 ÷ 214
    10191 ÷ 16384     		x = 0.62200927734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2501 ÷ 214
    2501 ÷ 16384     		y = 0.15264892578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.62200927734375 × 2 - 1) × π
    0.2440185546875 × 3.1415926535     		Λ = 0.76660690
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.15264892578125 × 2 - 1) × π
    0.6947021484375 × 3.1415926535     		Φ = 2.18247116590192
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.76660690} λ = 0.76660690}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.18247116590192))-π/2
    2×atan(8.86819398206474)-π/2
    2×1.45850812193506-π/2
    2.91701624387012-1.57079632675     		φ = 1.34621992
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.76660690} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 43.923340°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34621992 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.132720°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 10191 KachelY 2501 0.76660690 1.34621992 43.923340 77.132720
    Oben rechts KachelX + 1 10192 KachelY 2501 0.76699039 1.34621992 43.945312 77.132720
    Unten links KachelX 10191 KachelY + 1 2502 0.76660690 1.34613450 43.923340 77.127826
    Unten rechts KachelX + 1 10192 KachelY + 1 2502 0.76699039 1.34613450 43.945312 77.127826
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34621992-1.34613450) × R
    8.54200000000027e-05 × 6371000     		dl = 544.210820000017m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34621992-1.34613450) × R
    8.54200000000027e-05 × 6371000     		dr = 544.210820000017m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.76660690-0.76699039) × cos(1.34621992) × R
    0.000383490000000042 × 0.222693425967843 × 6371000     		do = 544.087871960464m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.76660690-0.76699039) × cos(1.34613450) × R
    0.000383490000000042 × 0.222776700133179 × 6371000     		du = 544.291328632837m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34621992)-sin(1.34613450))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.222693425967843-0.222776700133179)×R²
    abs(0.76699039-0.76660690)×8.32741653356561e-05×R²
    0.000383490000000042×8.32741653356561e-05×6371000²
    0.000383490000000042×8.32741653356561e-05×40589641000000     		ar = 296153.868792518m²