Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 101909 / 97803
↖ ↑ ↗
← S 65.958783°
E 99.901428°		 ← 124.43 m → S 65.958783°
E 99.904175°		 →
↑
124.36 m
↓
↑
124.36 m
↓
S 65.959902°
E 99.901428°		 ← 124.42 m →
15 474 m²		 S 65.959902°
E 99.904175°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 101909 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 97803 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.777507781982422 y=0.746181488037109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.777507781982422 × 217)
    floor (0.777507781982422 × 131072)
    floor (101909.5)     		tx = 101909
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.746181488037109 × 217)
    floor (0.746181488037109 × 131072)
    floor (97803.5)     		ty = 97803
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 101909 / 97803 ti = "17/101909/97803"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/101909/97803.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 101909 ÷ 217
    101909 ÷ 131072     		x = 0.777503967285156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 97803 ÷ 217
    97803 ÷ 131072     		y = 0.746177673339844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.777503967285156 × 2 - 1) × π
    0.555007934570312 × 3.1415926535     		Λ = 1.74360885
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.746177673339844 × 2 - 1) × π
    -0.492355346679688 × 3.1415926535     		Φ = -1.54677994004035
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.74360885} λ = 1.74360885}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.54677994004035))-π/2
    2×atan(0.212932526587749)-π/2
    2×0.209799195702763-π/2
    0.419598391405526-1.57079632675     		φ = -1.15119794
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.74360885} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 99.901428°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.15119794 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.958783°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 101909 KachelY 97803 1.74360885 -1.15119794 99.901428 -65.958783
    Oben rechts KachelX + 1 101910 KachelY 97803 1.74365679 -1.15119794 99.904175 -65.958783
    Unten links KachelX 101909 KachelY + 1 97804 1.74360885 -1.15121746 99.901428 -65.959902
    Unten rechts KachelX + 1 101910 KachelY + 1 97804 1.74365679 -1.15121746 99.904175 -65.959902
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.15119794--1.15121746) × R
    1.95199999999396e-05 × 6371000     		dl = 124.361919999615m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.15119794--1.15121746) × R
    1.95199999999396e-05 × 6371000     		dr = 124.361919999615m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.74360885-1.74365679) × cos(-1.15119794) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.407393711609078 × 6371000     		do = 124.428525839468m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.74360885-1.74365679) × cos(-1.15121746) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.407375884840153 × 6371000     		du = 124.423081085377m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.15119794)-sin(-1.15121746))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.407393711609078-0.407375884840153)×R²
    abs(1.74365679-1.74360885)×1.78267689248113e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.78267689248113e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.78267689248113e-05×40589641000000     		ar = 15473.8318166113m²