Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 101901 / 98828
↖ ↑ ↗
← S 67.080273°
E 99.879455°		 ← 118.95 m → S 67.080273°
E 99.882202°		 →
↑
118.88 m
↓
↑
118.88 m
↓
S 67.081342°
E 99.879455°		 ← 118.94 m →
14 140 m²		 S 67.081342°
E 99.882202°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 101901 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 98828 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.777446746826172 y=0.754001617431641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.777446746826172 × 217)
    floor (0.777446746826172 × 131072)
    floor (101901.5)     		tx = 101901
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.754001617431641 × 217)
    floor (0.754001617431641 × 131072)
    floor (98828.5)     		ty = 98828
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 101901 / 98828 ti = "17/101901/98828"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/101901/98828.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 101901 ÷ 217
    101901 ÷ 131072     		x = 0.777442932128906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 98828 ÷ 217
    98828 ÷ 131072     		y = 0.753997802734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.777442932128906 × 2 - 1) × π
    0.554885864257812 × 3.1415926535     		Λ = 1.74322535
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.753997802734375 × 2 - 1) × π
    -0.50799560546875 × 3.1415926535     		Φ = -1.59591526215091
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.74322535} λ = 1.74322535}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.59591526215091))-π/2
    2×atan(0.202722898969111)-π/2
    2×0.200012355715101-π/2
    0.400024711430201-1.57079632675     		φ = -1.17077162
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.74322535} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 99.879455°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.17077162 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.080273°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 101901 KachelY 98828 1.74322535 -1.17077162 99.879455 -67.080273
    Oben rechts KachelX + 1 101902 KachelY 98828 1.74327329 -1.17077162 99.882202 -67.080273
    Unten links KachelX 101901 KachelY + 1 98829 1.74322535 -1.17079028 99.879455 -67.081342
    Unten rechts KachelX + 1 101902 KachelY + 1 98829 1.74327329 -1.17079028 99.882202 -67.081342
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.17077162--1.17079028) × R
    1.86600000000592e-05 × 6371000     		dl = 118.882860000377m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.17077162--1.17079028) × R
    1.86600000000592e-05 × 6371000     		dr = 118.882860000377m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.74322535-1.74327329) × cos(-1.17077162) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.389441098654859 × 6371000     		do = 118.945335743546m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.74322535-1.74327329) × cos(-1.17079028) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.389423911768449 × 6371000     		du = 118.940086426046m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.17077162)-sin(-1.17079028))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.389441098654859-0.389423911768449)×R²
    abs(1.74327329-1.74322535)×1.71868864096703e-05×R²
    4.79400000001906e-05×1.71868864096703e-05×6371000²
    4.79400000001906e-05×1.71868864096703e-05×40589641000000     		ar = 14140.249670448m²