Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 10190 / 2498
↖ ↑ ↗
← N 77.147391°
E 43.901367°		 ← 543.49 m → N 77.147391°
E 43.923340°		 →
↑
543.57 m
↓
↑
543.57 m
↓
N 77.142502°
E 43.901367°		 ← 543.70 m →
295 483 m²		 N 77.142502°
E 43.923340°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 10190 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2498 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.621978759765625 y=0.152496337890625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.621978759765625 × 214)
    floor (0.621978759765625 × 16384)
    floor (10190.5)     		tx = 10190
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.152496337890625 × 214)
    floor (0.152496337890625 × 16384)
    floor (2498.5)     		ty = 2498
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 10190 / 2498 ti = "14/10190/2498"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/10190/2498.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 10190 ÷ 214
    10190 ÷ 16384     		x = 0.6219482421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2498 ÷ 214
    2498 ÷ 16384     		y = 0.1524658203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.6219482421875 × 2 - 1) × π
    0.243896484375 × 3.1415926535     		Λ = 0.76622340
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1524658203125 × 2 - 1) × π
    0.695068359375 × 3.1415926535     		Φ = 2.1836216514928
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.76622340} λ = 0.76622340}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.1836216514928))-π/2
    2×atan(8.87840258275622)-π/2
    2×1.45863615291129-π/2
    2.91727230582259-1.57079632675     		φ = 1.34647598
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.76622340} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 43.901367°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34647598 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.147391°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 10190 KachelY 2498 0.76622340 1.34647598 43.901367 77.147391
    Oben rechts KachelX + 1 10191 KachelY 2498 0.76660690 1.34647598 43.923340 77.147391
    Unten links KachelX 10190 KachelY + 1 2499 0.76622340 1.34639066 43.901367 77.142502
    Unten rechts KachelX + 1 10191 KachelY + 1 2499 0.76660690 1.34639066 43.923340 77.142502
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34647598-1.34639066) × R
    8.53199999999443e-05 × 6371000     		dl = 543.573719999645m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34647598-1.34639066) × R
    8.53199999999443e-05 × 6371000     		dr = 543.573719999645m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.76622340-0.76660690) × cos(1.34647598) × R
    0.000383499999999981 × 0.222443788713977 × 6371000     		do = 543.492126423376m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.76622340-0.76660690) × cos(1.34639066) × R
    0.000383499999999981 × 0.222526970255735 × 6371000     		du = 543.695362095951m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34647598)-sin(1.34639066))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.222443788713977-0.222526970255735)×R²
    abs(0.76660690-0.76622340)×8.31815417582094e-05×R²
    0.000383499999999981×8.31815417582094e-05×6371000²
    0.000383499999999981×8.31815417582094e-05×40589641000000     		ar = 295483.273914741m²