Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 101899 / 98826
↖ ↑ ↗
← S 67.078133°
E 99.873962°		 ← 118.96 m → S 67.078133°
E 99.876709°		 →
↑
118.95 m
↓
↑
118.95 m
↓
S 67.079203°
E 99.873962°		 ← 118.95 m →
14 149 m²		 S 67.079203°
E 99.876709°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 101899 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 98826 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.777431488037109 y=0.753986358642578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.777431488037109 × 217)
    floor (0.777431488037109 × 131072)
    floor (101899.5)     		tx = 101899
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.753986358642578 × 217)
    floor (0.753986358642578 × 131072)
    floor (98826.5)     		ty = 98826
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 101899 / 98826 ti = "17/101899/98826"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/101899/98826.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 101899 ÷ 217
    101899 ÷ 131072     		x = 0.777427673339844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 98826 ÷ 217
    98826 ÷ 131072     		y = 0.753982543945312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.777427673339844 × 2 - 1) × π
    0.554855346679688 × 3.1415926535     		Λ = 1.74312948
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.753982543945312 × 2 - 1) × π
    -0.507965087890625 × 3.1415926535     		Φ = -1.59581938835167
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.74312948} λ = 1.74312948}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.59581938835167))-π/2
    2×atan(0.20274233571535)-π/2
    2×0.200031025138442-π/2
    0.400062050276883-1.57079632675     		φ = -1.17073428
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.74312948} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 99.873962°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.17073428 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.078133°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 101899 KachelY 98826 1.74312948 -1.17073428 99.873962 -67.078133
    Oben rechts KachelX + 1 101900 KachelY 98826 1.74317742 -1.17073428 99.876709 -67.078133
    Unten links KachelX 101899 KachelY + 1 98827 1.74312948 -1.17075295 99.873962 -67.079203
    Unten rechts KachelX + 1 101900 KachelY + 1 98827 1.74317742 -1.17075295 99.876709 -67.079203
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.17073428--1.17075295) × R
    1.86699999999984e-05 × 6371000     		dl = 118.94656999999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.17073428--1.17075295) × R
    1.86699999999984e-05 × 6371000     		dr = 118.94656999999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.74312948-1.74317742) × cos(-1.17073428) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.389475490441604 × 6371000     		do = 118.955839880463m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.74312948-1.74317742) × cos(-1.17075295) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.389458294616108 × 6371000     		du = 118.950587832736m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.17073428)-sin(-1.17075295))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.389475490441604-0.389458294616108)×R²
    abs(1.74317742-1.74312948)×1.71958254959192e-05×R²
    4.79400000001906e-05×1.71958254959192e-05×6371000²
    4.79400000001906e-05×1.71958254959192e-05×40589641000000     		ar = 14149.076779119m²