Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 101898 / 98998
↖ ↑ ↗
← S 67.261429°
E 99.871216°		 ← 118.06 m → S 67.261429°
E 99.873962°		 →
↑
118.05 m
↓
↑
118.05 m
↓
S 67.262490°
E 99.871216°		 ← 118.05 m →
13 937 m²		 S 67.262490°
E 99.873962°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 101898 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 98998 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.777423858642578 y=0.755298614501953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.777423858642578 × 217)
    floor (0.777423858642578 × 131072)
    floor (101898.5)     		tx = 101898
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.755298614501953 × 217)
    floor (0.755298614501953 × 131072)
    floor (98998.5)     		ty = 98998
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 101898 / 98998 ti = "17/101898/98998"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/101898/98998.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 101898 ÷ 217
    101898 ÷ 131072     		x = 0.777420043945312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 98998 ÷ 217
    98998 ÷ 131072     		y = 0.755294799804688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.777420043945312 × 2 - 1) × π
    0.554840087890625 × 3.1415926535     		Λ = 1.74308154
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.755294799804688 × 2 - 1) × π
    -0.510589599609375 × 3.1415926535     		Φ = -1.60406453508632
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.74308154} λ = 1.74308154}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.60406453508632))-π/2
    2×atan(0.201077567966474)-π/2
    2×0.198431467858312-π/2
    0.396862935716624-1.57079632675     		φ = -1.17393339
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.74308154} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 99.871216°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.17393339 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.261429°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 101898 KachelY 98998 1.74308154 -1.17393339 99.871216 -67.261429
    Oben rechts KachelX + 1 101899 KachelY 98998 1.74312948 -1.17393339 99.873962 -67.261429
    Unten links KachelX 101898 KachelY + 1 98999 1.74308154 -1.17395192 99.871216 -67.262490
    Unten rechts KachelX + 1 101899 KachelY + 1 98999 1.74312948 -1.17395192 99.873962 -67.262490
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.17393339--1.17395192) × R
    1.85299999999611e-05 × 6371000     		dl = 118.054629999752m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.17393339--1.17395192) × R
    1.85299999999611e-05 × 6371000     		dr = 118.054629999752m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.74308154-1.74312948) × cos(-1.17393339) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.38652700433031 × 6371000     		do = 118.055296327491m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.74308154-1.74312948) × cos(-1.17395192) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.386509914450948 × 6371000     		du = 118.05007663844m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.17393339)-sin(-1.17395192))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.38652700433031-0.386509914450948)×R²
    abs(1.74312948-1.74308154)×1.70898793621088e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.70898793621088e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.70898793621088e-05×40589641000000     		ar = 13936.6662237561m²