Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 101894 / 98825
↖ ↑ ↗
← S 67.077063°
E 99.860230°		 ← 118.94 m → S 67.077063°
E 99.862976°		 →
↑
118.95 m
↓
↑
118.95 m
↓
S 67.078133°
E 99.860230°		 ← 118.93 m →
14 147 m²		 S 67.078133°
E 99.862976°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 101894 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 98825 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.777393341064453 y=0.753978729248047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.777393341064453 × 217)
    floor (0.777393341064453 × 131072)
    floor (101894.5)     		tx = 101894
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.753978729248047 × 217)
    floor (0.753978729248047 × 131072)
    floor (98825.5)     		ty = 98825
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 101894 / 98825 ti = "17/101894/98825"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/101894/98825.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 101894 ÷ 217
    101894 ÷ 131072     		x = 0.777389526367188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 98825 ÷ 217
    98825 ÷ 131072     		y = 0.753974914550781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.777389526367188 × 2 - 1) × π
    0.554779052734375 × 3.1415926535     		Λ = 1.74288980
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.753974914550781 × 2 - 1) × π
    -0.507949829101562 × 3.1415926535     		Φ = -1.59577145145205
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.74288980} λ = 1.74288980}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.59577145145205))-π/2
    2×atan(0.202752054787295)-π/2
    2×0.200040360468347-π/2
    0.400080720936693-1.57079632675     		φ = -1.17071561
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.74288980} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 99.860230°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.17071561 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.077063°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 101894 KachelY 98825 1.74288980 -1.17071561 99.860230 -67.077063
    Oben rechts KachelX + 1 101895 KachelY 98825 1.74293773 -1.17071561 99.862976 -67.077063
    Unten links KachelX 101894 KachelY + 1 98826 1.74288980 -1.17073428 99.860230 -67.078133
    Unten rechts KachelX + 1 101895 KachelY + 1 98826 1.74293773 -1.17073428 99.862976 -67.078133
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.17071561--1.17073428) × R
    1.86699999999984e-05 × 6371000     		dl = 118.94656999999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.17071561--1.17073428) × R
    1.86699999999984e-05 × 6371000     		dr = 118.94656999999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.74288980-1.74293773) × cos(-1.17071561) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.389492686131341 × 6371000     		do = 118.936277307292m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.74288980-1.74293773) × cos(-1.17073428) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.389475490441604 × 6371000     		du = 118.931026396566m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.17071561)-sin(-1.17073428))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.389492686131341-0.389475490441604)×R²
    abs(1.74293773-1.74288980)×1.71956897369041e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.71956897369041e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.71956897369041e-05×40589641000000     		ar = 14146.749945667m²