Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 101888 / 97793
↖ ↑ ↗
← S 65.947591°
E 99.843750°		 ← 124.48 m → S 65.947591°
E 99.846496°		 →
↑
124.49 m
↓
↑
124.49 m
↓
S 65.948711°
E 99.843750°		 ← 124.48 m →
15 496 m²		 S 65.948711°
E 99.846496°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 101888 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 97793 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.777347564697266 y=0.746105194091797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.777347564697266 × 217)
    floor (0.777347564697266 × 131072)
    floor (101888.5)     		tx = 101888
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.746105194091797 × 217)
    floor (0.746105194091797 × 131072)
    floor (97793.5)     		ty = 97793
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 101888 / 97793 ti = "17/101888/97793"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/101888/97793.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 101888 ÷ 217
    101888 ÷ 131072     		x = 0.77734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 97793 ÷ 217
    97793 ÷ 131072     		y = 0.746101379394531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.77734375 × 2 - 1) × π
    0.5546875 × 3.1415926535     		Λ = 1.74260217
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.746101379394531 × 2 - 1) × π
    -0.492202758789062 × 3.1415926535     		Φ = -1.54630057104415
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.74260217} λ = 1.74260217}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.54630057104415))-π/2
    2×atan(0.213034624308563)-π/2
    2×0.209896863037535-π/2
    0.419793726075069-1.57079632675     		φ = -1.15100260
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.74260217} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 99.843750°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.15100260 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.947591°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 101888 KachelY 97793 1.74260217 -1.15100260 99.843750 -65.947591
    Oben rechts KachelX + 1 101889 KachelY 97793 1.74265011 -1.15100260 99.846496 -65.947591
    Unten links KachelX 101888 KachelY + 1 97794 1.74260217 -1.15102214 99.843750 -65.948711
    Unten rechts KachelX + 1 101889 KachelY + 1 97794 1.74265011 -1.15102214 99.846496 -65.948711
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.15100260--1.15102214) × R
    1.95400000000401e-05 × 6371000     		dl = 124.489340000255m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.15100260--1.15102214) × R
    1.95400000000401e-05 × 6371000     		dr = 124.489340000255m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.74260217-1.74265011) × cos(-1.15100260) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.407572098603818 × 6371000     		do = 124.483009819342m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.74260217-1.74265011) × cos(-1.15102214) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.407554255124986 × 6371000     		du = 124.477559961616m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.15100260)-sin(-1.15102214))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.407572098603818-0.407554255124986)×R²
    abs(1.74265011-1.74260217)×1.78434788313808e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.78434788313808e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.78434788313808e-05×40589641000000     		ar = 15496.4685095639m²