Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 101884 / 98813
↖ ↑ ↗
← S 67.064222°
E 99.832764°		 ← 119 m → S 67.064222°
E 99.835510°		 →
↑
119.01 m
↓
↑
119.01 m
↓
S 67.065293°
E 99.832764°		 ← 118.99 m →
14 162 m²		 S 67.065293°
E 99.835510°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 101884 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 98813 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.777317047119141 y=0.753887176513672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.777317047119141 × 217)
    floor (0.777317047119141 × 131072)
    floor (101884.5)     		tx = 101884
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.753887176513672 × 217)
    floor (0.753887176513672 × 131072)
    floor (98813.5)     		ty = 98813
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 101884 / 98813 ti = "17/101884/98813"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/101884/98813.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 101884 ÷ 217
    101884 ÷ 131072     		x = 0.777313232421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 98813 ÷ 217
    98813 ÷ 131072     		y = 0.753883361816406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.777313232421875 × 2 - 1) × π
    0.55462646484375 × 3.1415926535     		Λ = 1.74241043
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.753883361816406 × 2 - 1) × π
    -0.507766723632812 × 3.1415926535     		Φ = -1.59519620865661
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.74241043} λ = 1.74241043}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.59519620865661))-π/2
    2×atan(0.202868719998266)-π/2
    2×0.200152416581211-π/2
    0.400304833162422-1.57079632675     		φ = -1.17049149
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.74241043} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 99.832764°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.17049149 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.064222°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 101884 KachelY 98813 1.74241043 -1.17049149 99.832764 -67.064222
    Oben rechts KachelX + 1 101885 KachelY 98813 1.74245836 -1.17049149 99.835510 -67.064222
    Unten links KachelX 101884 KachelY + 1 98814 1.74241043 -1.17051017 99.832764 -67.065293
    Unten rechts KachelX + 1 101885 KachelY + 1 98814 1.74245836 -1.17051017 99.835510 -67.065293
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.17049149--1.17051017) × R
    1.86799999999376e-05 × 6371000     		dl = 119.010279999603m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.17049149--1.17051017) × R
    1.86799999999376e-05 × 6371000     		dr = 119.010279999603m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.74241043-1.74245836) × cos(-1.17049149) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.389699097492177 × 6371000     		do = 118.999307499452m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.74241043-1.74245836) × cos(-1.17051017) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.389681894223103 × 6371000     		du = 118.994054274285m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.17049149)-sin(-1.17051017))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.389699097492177-0.389681894223103)×R²
    abs(1.74245836-1.74241043)×1.72032690740065e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.72032690740065e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.72032690740065e-05×40589641000000     		ar = 14161.8283117484m²