Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 101883 / 97848
↖ ↑ ↗
← S 66.009086°
E 99.830017°		 ← 124.18 m → S 66.009086°
E 99.832764°		 →
↑
124.17 m
↓
↑
124.17 m
↓
S 66.010202°
E 99.830017°		 ← 124.18 m →
15 420 m²		 S 66.010202°
E 99.832764°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 101883 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 97848 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.777309417724609 y=0.746524810791016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.777309417724609 × 217)
    floor (0.777309417724609 × 131072)
    floor (101883.5)     		tx = 101883
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.746524810791016 × 217)
    floor (0.746524810791016 × 131072)
    floor (97848.5)     		ty = 97848
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 101883 / 97848 ti = "17/101883/97848"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/101883/97848.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 101883 ÷ 217
    101883 ÷ 131072     		x = 0.777305603027344
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 97848 ÷ 217
    97848 ÷ 131072     		y = 0.74652099609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.777305603027344 × 2 - 1) × π
    0.554611206054688 × 3.1415926535     		Λ = 1.74236249
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.74652099609375 × 2 - 1) × π
    -0.4930419921875 × 3.1415926535     		Φ = -1.54893710052325
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.74236249} λ = 1.74236249}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.54893710052325))-π/2
    2×atan(0.21247369202369)-π/2
    2×0.20936022148557-π/2
    0.41872044297114-1.57079632675     		φ = -1.15207588
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.74236249} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 99.830017°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.15207588 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.009086°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 101883 KachelY 97848 1.74236249 -1.15207588 99.830017 -66.009086
    Oben rechts KachelX + 1 101884 KachelY 97848 1.74241043 -1.15207588 99.832764 -66.009086
    Unten links KachelX 101883 KachelY + 1 97849 1.74236249 -1.15209537 99.830017 -66.010202
    Unten rechts KachelX + 1 101884 KachelY + 1 97849 1.74241043 -1.15209537 99.832764 -66.010202
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.15207588--1.15209537) × R
    1.94900000001219e-05 × 6371000     		dl = 124.170790000777m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.15207588--1.15209537) × R
    1.94900000001219e-05 × 6371000     		dr = 124.170790000777m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.74236249-1.74241043) × cos(-1.15207588) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.406591773694102 × 6371000     		do = 124.183593358352m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.74236249-1.74241043) × cos(-1.15209537) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.406573967359072 × 6371000     		du = 124.178154845299m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.15207588)-sin(-1.15209537))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.406591773694102-0.406573967359072)×R²
    abs(1.74241043-1.74236249)×1.78063350292912e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.78063350292912e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.78063350292912e-05×40589641000000     		ar = 15419.6372406613m²