Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 101882 / 98985
↖ ↑ ↗
← S 67.247624°
E 99.827270°		 ← 118.12 m → S 67.247624°
E 99.830017°		 →
↑
118.12 m
↓
↑
118.12 m
↓
S 67.248686°
E 99.827270°		 ← 118.12 m →
13 952 m²		 S 67.248686°
E 99.830017°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 101882 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 98985 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.777301788330078 y=0.755199432373047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.777301788330078 × 217)
    floor (0.777301788330078 × 131072)
    floor (101882.5)     		tx = 101882
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.755199432373047 × 217)
    floor (0.755199432373047 × 131072)
    floor (98985.5)     		ty = 98985
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 101882 / 98985 ti = "17/101882/98985"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/101882/98985.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 101882 ÷ 217
    101882 ÷ 131072     		x = 0.777297973632812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 98985 ÷ 217
    98985 ÷ 131072     		y = 0.755195617675781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.777297973632812 × 2 - 1) × π
    0.554595947265625 × 3.1415926535     		Λ = 1.74231455
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.755195617675781 × 2 - 1) × π
    -0.510391235351562 × 3.1415926535     		Φ = -1.60344135539126
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.74231455} λ = 1.74231455}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.60344135539126))-π/2
    2×atan(0.201202914476606)-π/2
    2×0.19855194036435-π/2
    0.3971038807287-1.57079632675     		φ = -1.17369245
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.74231455} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 99.827270°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.17369245 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.247624°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 101882 KachelY 98985 1.74231455 -1.17369245 99.827270 -67.247624
    Oben rechts KachelX + 1 101883 KachelY 98985 1.74236249 -1.17369245 99.830017 -67.247624
    Unten links KachelX 101882 KachelY + 1 98986 1.74231455 -1.17371099 99.827270 -67.248686
    Unten rechts KachelX + 1 101883 KachelY + 1 98986 1.74236249 -1.17371099 99.830017 -67.248686
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.17369245--1.17371099) × R
    1.85399999999003e-05 × 6371000     		dl = 118.118339999365m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.17369245--1.17371099) × R
    1.85399999999003e-05 × 6371000     		dr = 118.118339999365m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.74231455-1.74236249) × cos(-1.17369245) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.386749206791767 × 6371000     		do = 118.123162679258m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.74231455-1.74236249) × cos(-1.17371099) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.386732109416638 × 6371000     		du = 118.117940700807m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.17369245)-sin(-1.17371099))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.386749206791767-0.386732109416638)×R²
    abs(1.74236249-1.74231455)×1.7097375129671e-05×R²
    4.79400000001906e-05×1.7097375129671e-05×6371000²
    4.79400000001906e-05×1.7097375129671e-05×40589641000000     		ar = 13952.2034858131m²