Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 101880 / 97832
↖ ↑ ↗
← S 65.991212°
E 99.821777°		 ← 124.27 m → S 65.991212°
E 99.824524°		 →
↑
124.30 m
↓
↑
124.30 m
↓
S 65.992329°
E 99.821777°		 ← 124.27 m →
15 446 m²		 S 65.992329°
E 99.824524°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 101880 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 97832 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.777286529541016 y=0.746402740478516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.777286529541016 × 217)
    floor (0.777286529541016 × 131072)
    floor (101880.5)     		tx = 101880
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.746402740478516 × 217)
    floor (0.746402740478516 × 131072)
    floor (97832.5)     		ty = 97832
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 101880 / 97832 ti = "17/101880/97832"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/101880/97832.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 101880 ÷ 217
    101880 ÷ 131072     		x = 0.77728271484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 97832 ÷ 217
    97832 ÷ 131072     		y = 0.74639892578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.77728271484375 × 2 - 1) × π
    0.5545654296875 × 3.1415926535     		Λ = 1.74221868
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.74639892578125 × 2 - 1) × π
    -0.4927978515625 × 3.1415926535     		Φ = -1.54817011012933
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.74221868} λ = 1.74221868}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.54817011012933))-π/2
    2×atan(0.212636719816817)-π/2
    2×0.209516202117813-π/2
    0.419032404235625-1.57079632675     		φ = -1.15176392
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.74221868} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 99.821777°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.15176392 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.991212°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 101880 KachelY 97832 1.74221868 -1.15176392 99.821777 -65.991212
    Oben rechts KachelX + 1 101881 KachelY 97832 1.74226662 -1.15176392 99.824524 -65.991212
    Unten links KachelX 101880 KachelY + 1 97833 1.74221868 -1.15178343 99.821777 -65.992329
    Unten rechts KachelX + 1 101881 KachelY + 1 97833 1.74226662 -1.15178343 99.824524 -65.992329
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.15176392--1.15178343) × R
    1.95100000000004e-05 × 6371000     		dl = 124.298210000002m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.15176392--1.15178343) × R
    1.95100000000004e-05 × 6371000     		dr = 124.298210000002m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.74221868-1.74226662) × cos(-1.15176392) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.406876763663012 × 6371000     		do = 124.270636631075m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.74221868-1.74226662) × cos(-1.15178343) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.406858941531094 × 6371000     		du = 124.265193293245m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.15176392)-sin(-1.15178343))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.406876763663012-0.406858941531094)×R²
    abs(1.74226662-1.74221868)×1.78221319179772e-05×R²
    4.79400000001906e-05×1.78221319179772e-05×6371000²
    4.79400000001906e-05×1.78221319179772e-05×40589641000000     		ar = 15446.2793907371m²