Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 101879 / 98983
↖ ↑ ↗
← S 67.245499°
E 99.819031°		 ← 118.13 m → S 67.245499°
E 99.821777°		 →
↑
118.12 m
↓
↑
118.12 m
↓
S 67.246562°
E 99.819031°		 ← 118.13 m →
13 953 m²		 S 67.246562°
E 99.821777°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 101879 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 98983 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.777278900146484 y=0.755184173583984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.777278900146484 × 217)
    floor (0.777278900146484 × 131072)
    floor (101879.5)     		tx = 101879
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.755184173583984 × 217)
    floor (0.755184173583984 × 131072)
    floor (98983.5)     		ty = 98983
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 101879 / 98983 ti = "17/101879/98983"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/101879/98983.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 101879 ÷ 217
    101879 ÷ 131072     		x = 0.777275085449219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 98983 ÷ 217
    98983 ÷ 131072     		y = 0.755180358886719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.777275085449219 × 2 - 1) × π
    0.554550170898438 × 3.1415926535     		Λ = 1.74217074
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.755180358886719 × 2 - 1) × π
    -0.510360717773438 × 3.1415926535     		Φ = -1.60334548159202
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.74217074} λ = 1.74217074}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.60334548159202))-π/2
    2×atan(0.201222205489171)-π/2
    2×0.19857048074202-π/2
    0.397140961484041-1.57079632675     		φ = -1.17365537
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.74217074} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 99.819031°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.17365537 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.245499°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 101879 KachelY 98983 1.74217074 -1.17365537 99.819031 -67.245499
    Oben rechts KachelX + 1 101880 KachelY 98983 1.74221868 -1.17365537 99.821777 -67.245499
    Unten links KachelX 101879 KachelY + 1 98984 1.74217074 -1.17367391 99.819031 -67.246562
    Unten rechts KachelX + 1 101880 KachelY + 1 98984 1.74221868 -1.17367391 99.821777 -67.246562
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.17365537--1.17367391) × R
    1.85399999999003e-05 × 6371000     		dl = 118.118339999365m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.17365537--1.17367391) × R
    1.85399999999003e-05 × 6371000     		dr = 118.118339999365m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.74217074-1.74221868) × cos(-1.17365537) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.386783401143207 × 6371000     		do = 118.133606513803m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.74217074-1.74221868) × cos(-1.17367391) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.386766304033959 × 6371000     		du = 118.12838461656m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.17365537)-sin(-1.17367391))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.386783401143207-0.386766304033959)×R²
    abs(1.74221868-1.74217074)×1.70971092479655e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.70971092479655e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.70971092479655e-05×40589641000000     		ar = 13953.437099064m²