Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 101876 / 96244
↖ ↑ ↗
← S 64.153742°
E 99.810791°		 ← 133.15 m → S 64.153742°
E 99.813538°		 →
↑
133.15 m
↓
↑
133.15 m
↓
S 64.154939°
E 99.810791°		 ← 133.15 m →
17 729 m²		 S 64.154939°
E 99.813538°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 101876 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 96244 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.777256011962891 y=0.734287261962891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.777256011962891 × 217)
    floor (0.777256011962891 × 131072)
    floor (101876.5)     		tx = 101876
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.734287261962891 × 217)
    floor (0.734287261962891 × 131072)
    floor (96244.5)     		ty = 96244
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 101876 / 96244 ti = "17/101876/96244"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/101876/96244.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 101876 ÷ 217
    101876 ÷ 131072     		x = 0.777252197265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 96244 ÷ 217
    96244 ÷ 131072     		y = 0.734283447265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.777252197265625 × 2 - 1) × π
    0.55450439453125 × 3.1415926535     		Λ = 1.74202693
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.734283447265625 × 2 - 1) × π
    -0.46856689453125 × 3.1415926535     		Φ = -1.47204631353268
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.74202693} λ = 1.74202693}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.47204631353268))-π/2
    2×atan(0.229455466621565)-π/2
    2×0.225551151684705-π/2
    0.45110230336941-1.57079632675     		φ = -1.11969402
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.74202693} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 99.810791°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.11969402 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.153742°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 101876 KachelY 96244 1.74202693 -1.11969402 99.810791 -64.153742
    Oben rechts KachelX + 1 101877 KachelY 96244 1.74207487 -1.11969402 99.813538 -64.153742
    Unten links KachelX 101876 KachelY + 1 96245 1.74202693 -1.11971492 99.810791 -64.154939
    Unten rechts KachelX + 1 101877 KachelY + 1 96245 1.74207487 -1.11971492 99.813538 -64.154939
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.11969402--1.11971492) × R
    2.08999999999904e-05 × 6371000     		dl = 133.153899999939m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.11969402--1.11971492) × R
    2.08999999999904e-05 × 6371000     		dr = 133.153899999939m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.74202693-1.74207487) × cos(-1.11969402) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.435957838610597 × 6371000     		do = 133.152745466355m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.74202693-1.74207487) × cos(-1.11971492) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.435939029203204 × 6371000     		du = 133.147000589183m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.11969402)-sin(-1.11971492))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.435957838610597-0.435939029203204)×R²
    abs(1.74207487-1.74202693)×1.88094073935163e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.88094073935163e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.88094073935163e-05×40589641000000     		ar = 17729.424878816m²